Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

625. Докажите признак делимости на 4: если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0, 4 и 8.)

Чтобы доказать признак делимости на 4, представим любое натуральное число $N$ в виде суммы. Любое число, содержащее хотя бы две цифры, можно записать как сумму числа, состоящего из сотен, тысяч и т.д., и числа, образованного двумя последними цифрами.

Формально это можно записать так:
$N = 100 \cdot a + b$
где $b$ – это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$ (таким образом, $b$ может быть любым целым числом от 0 до 99), а $a$ – это число, которое получается, если отбросить от числа $N$ две последние цифры. Если исходное число $N$ двузначное или однозначное, то $a = 0$.

Например:
Для числа $384$: $a = 3$, $b = 84$. Проверка: $100 \cdot 3 + 84 = 300 + 84 = 384$.
Для числа $15732$: $a = 157$, $b = 32$. Проверка: $100 \cdot 157 + 32 = 15700 + 32 = 15732$.
Для числа $28$: $a = 0$, $b = 28$. Проверка: $100 \cdot 0 + 28 = 28$.

Теперь проанализируем выражение $N = 100a + b$ на предмет делимости на 4.

Первое слагаемое, $100a$, всегда делится на 4 при любом целом $a$, поскольку множитель 100 делится на 4 ($100 : 4 = 25$). Таким образом, $100a = 4 \cdot (25a)$, что означает, что $100a$ кратно 4.

Рассмотрим сумму $N = 100a + b$. Согласно свойству делимости, если одно из слагаемых ($100a$) делится на некоторое число (в нашем случае на 4), то вся сумма будет делиться на это число тогда и только тогда, когда второе слагаемое ($b$) также делится на это число.

Отсюда следует, что число $N$ делится на 4 в том и только в том случае, если число $b$, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Это и есть доказываемый признак.

Замечание про записи 00, 04 и 08 означает, что если число оканчивается, например, на 04, то $b=4$. Так как 4 делится на 4, то и все число делится на 4. Если число оканчивается на 00, то $b=0$. Так как 0 делится на 4, то и все число делится на 4.

Ответ: Любое число $N$ можно представить в виде $N = 100a + b$, где $b$ — число, образованное двумя его последними цифрами. Так как слагаемое $100a$ всегда делится на 4 (потому что $100$ делится на 4), делимость всей суммы $N$ на 4 зависит только от делимости на 4 слагаемого $b$. Таким образом, число $N$ делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Что и требовалось доказать.

626. Какие из чисел 7928; 3553; 1996; 1795; 7 568 936; 1000; 5700 делятся на 4?

Чтобы определить, делится ли число на 4, нужно применить признак делимости на 4. Согласно этому признаку, число делится на 4 без остатка, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Если две последние цифры числа — нули, то число также делится на 4. Проверим каждое из предложенных чисел:

7928: Последние две цифры образуют число 28. Проверим, делится ли 28 на 4: $28 \div 4 = 7$. Так как 28 делится на 4, то и число 7928 делится на 4.

3553: Последние две цифры образуют число 53. Проверим, делится ли 53 на 4: $53 \div 4 = 13$ (остаток 1). Так как 53 не делится на 4 без остатка, то и число 3553 не делится на 4.

1996: Последние две цифры образуют число 96. Проверим, делится ли 96 на 4: $96 \div 4 = 24$. Так как 96 делится на 4, то и число 1996 делится на 4.

1795: Последние две цифры образуют число 95. Проверим, делится ли 95 на 4: $95 \div 4 = 23$ (остаток 3). Так как 95 не делится на 4 без остатка, то и число 1795 не делится на 4.

7 568 936: Последние две цифры образуют число 36. Проверим, делится ли 36 на 4: $36 \div 4 = 9$. Так как 36 делится на 4, то и число 7 568 936 делится на 4.

1000: Последние две цифры — 00. Число, оканчивающееся на два нуля, всегда делится на 100, а так как $100 = 4 \times 25$, то оно делится и на 4. Следовательно, 1000 делится на 4.

5700: Последние две цифры — 00. Аналогично предыдущему случаю, число 5700 оканчивается на два нуля, поэтому оно делится на 4.

Ответ: 7928; 1996; 7 568 936; 1000; 5700.

627. Используя признак делимости на 4, определите четыре первых високосных года XXI века.

Чтобы найти високосные годы, необходимо определить, какие номера годов делятся на 4. XXI век начался 1 января 2001 года.

Воспользуемся признаком делимости на 4: натуральное число делится без остатка на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Будем последовательно проверять годы XXI века, начиная с 2001 года:

• 2001 год: последние две цифры образуют число 01. 1 на 4 не делится. Год не високосный.

• 2002 год: последние две цифры образуют число 02. 2 на 4 не делится. Год не високосный.

• 2003 год: последние две цифры образуют число 03. 3 на 4 не делится. Год не високосный.

• 2004 год: последние две цифры образуют число 04. Так как 4 делится на 4 ($4 \div 4 = 1$), то 2004 год — високосный. Это первый искомый год.

Поскольку високосные годы повторяются каждые 4 года, следующие можно найти, прибавляя 4 к предыдущему найденному году:

• Второй високосный год: $2004 + 4 = 2008$. Проверяем: последние две цифры 08. $8 \div 4 = 2$. Год 2008 — високосный.

• Третий високосный год: $2008 + 4 = 2012$. Проверяем: последние две цифры 12. $12 \div 4 = 3$. Год 2012 — високосный.

• Четвертый високосный год: $2012 + 4 = 2016$. Проверяем: последние две цифры 16. $16 \div 4 = 4$. Год 2016 — високосный.

Таким образом, первые четыре високосных года XXI века — это 2004, 2008, 2012 и 2016.

Ответ: 2004, 2008, 2012, 2016.

628. Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма:

а) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15;$

б) $5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65;$

в) $9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169.$

Чтобы определить чётность суммы, не выполняя сложения, необходимо проанализировать чётность каждого слагаемого и их количество.

Основные правила чётности при сложении:
- Сумма любого количества чётных чисел всегда чётная.
- Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётная.
- Сумма двух нечётных чисел всегда чётная ($нечёт + нечёт = чёт$).

Из последнего правила следует, что:
- Сумма чётного количества нечётных чисел является чётной (числа можно сгруппировать по парам, каждая из которых даст в сумме чётное число).
- Сумма нечётного количества нечётных чисел является нечётной (после группировки по парам останется одно нечётное число, которое в сумме с чётным результатом от пар даст нечётное число).

а) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$
Все слагаемые в этой сумме являются нечётными числами. Посчитаем их количество: всего 8 слагаемых. Так как количество слагаемых (8) чётно, то и их сумма будет являться чётным числом.
Ответ: чётным.

б) $5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65$
Все слагаемые в этой сумме оканчиваются на цифру 5, следовательно, все они являются нечётными числами. Посчитаем их количество: всего 7 слагаемых. Так как количество слагаемых (7) нечётно, то их сумма будет являться нечётным числом.
Ответ: нечётным.

в) $9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169$
Все слагаемые в этой сумме оканчиваются на цифру 9, следовательно, все они являются нечётными числами. Посчитаем их количество: всего 9 слагаемых. Так как количество слагаемых (9) нечётно, то их сумма будет являться нечётным числом.
Ответ: нечётным.

629. Докажите, что нельзя подобрать:

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

а) Доказательство основано на свойстве чётности чисел. Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Например, если взять два нечётных числа $n_1 = 2k_1 + 1$ и $n_2 = 2k_2 + 1$ (где $k_1$ и $k_2$ – целые числа), их сумма будет $n_1 + n_2 = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$, что является чётным числом.
Если мы сложим три нечётных числа, то сначала сложим два из них, получив чётное число. Затем к этому чётному результату мы прибавим третье нечётное число. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Таким образом, сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом. Число 12 является чётным. Так как нечётное число не может быть равно чётному, подобрать три нечётных числа, сумма которых равна 12, невозможно.
Ответ: Доказано, что это невозможно, поскольку сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом, а 12 — число чётное.

б) Здесь применяется тот же принцип, что и в пункте а). Нам нужно доказать, что сумма пяти нечётных чисел не может быть равна 100.
Рассмотрим сумму нечётного количества нечётных слагаемых.

• Сумма двух нечётных чисел: нечётное + нечётное = чётное.
• Сумма трёх нечётных чисел: (нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.
• Сумма четырёх нечётных чисел: (сумма трёх нечётных) + нечётное = нечётное + нечётное = чётное.
• Сумма пяти нечётных чисел: (сумма четырёх нечётных) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.

Таким образом, сумма любого нечётного количества нечётных чисел всегда будет нечётным числом. В нашей задаче мы складываем пять (нечётное количество) нечётных чисел, значит, их сумма обязательно будет нечётной. Число 100 является чётным. Следовательно, невозможно подобрать пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.
Ответ: Доказано, что это невозможно, так как сумма пяти нечётных чисел всегда нечётна, а 100 — чётное число.

630. Докажите, что:

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная;

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная

Для доказательства воспользуемся алгебраическими определениями чётных и нечётных чисел. Нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ – целое число. Чётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ – целое число.

Пусть у нас есть сумма чётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $n$, где $n$ – чётное число. Это означает, что $n = 2m$ для некоторого натурального числа $m$ (поскольку количество слагаемых должно быть не менее двух).

Каждое из $n$ слагаемых является нечётным, поэтому их можно представить в виде $a_1, a_2, \dots, a_n$, где $a_i = 2k_i + 1$ для каждого $i$ от 1 до $n$, и $k_i$ – целые числа.

Запишем их сумму $S$:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \dots + (2k_n + 1)$

Сгруппируем слагаемые, отделив единицы:

$S = (2k_1 + 2k_2 + \dots + 2k_n) + \underbrace{(1 + 1 + \dots + 1)}_{n \text{ раз}}$

Вынесем общий множитель 2 в первой скобке, а сумму единиц заменим на их количество $n$:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$

По условию, количество слагаемых $n$ является чётным, то есть $n=2m$. Подставим это в наше выражение для суммы:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m}) + 2m$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки во всём выражении:

$S = 2 \cdot [(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m}) + m]$

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму целых чисел, которая также является целым числом. Обозначим это целое число как $K$. Тогда сумма $S$ равна $2K$. По определению, число, которое можно представить в виде произведения двойки и целого числа, является чётным. Таким образом, сумма $S$ чётна.

Ответ: данное утверждение верно.

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная

Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту.

Пусть у нас есть сумма нечётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $n$, где $n$ – нечётное число. Это означает, что $n = 2m + 1$ для некоторого целого неотрицательного числа $m$ (если $m=0$, то слагаемое одно).

Как и ранее, сумма $S$ слагаемых $a_i = 2k_i + 1$ может быть записана в виде:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$

Подставим в это выражение $n = 2m + 1$:

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + (2m + 1)$

Сгруппируем члены, содержащие множитель 2:

$S = [2(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + 2m] + 1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S = 2 \cdot [(k_1 + k_2 + \dots + k_{2m+1}) + m] + 1$

Выражение в квадратных скобках является суммой целых чисел, и, следовательно, само является целым числом. Обозначим его как $K$. Тогда сумма $S$ равна $2K + 1$. По определению, число такого вида является нечётным. Таким образом, сумма $S$ нечётна.

Ответ: данное утверждение верно.