Страница 142 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

631. а) Какое число называют простым?

б) Какое число называют составным?

а) Какое число называют простым?

Простым называют натуральное число, которое больше единицы ($> 1$) и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете предметов (1, 2, 3, ...).

Другими словами, если число $p$ можно разделить без остатка только на 1 и на $p$, то оно является простым.

Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Например, число 7 — простое, так как оно делится только на 1 и 7.
Число 11 — простое, так как оно делится только на 1 и 11.

Важно помнить, что:
- Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель (само число 1).
- Число 2 — это наименьшее простое число и единственное чётное простое число.

Ответ: Простым называют натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и на само себя.

б) Какое число называют составным?

Составным называют натуральное число, которое больше единицы ($> 1$) и не является простым. Это означает, что составное число имеет более двух натуральных делителей.

То есть, помимо единицы и самого себя, у составного числа есть хотя бы еще один делитель.

Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.
Например, число 6 — составное, так как оно делится на 1, 2, 3 и 6. У него четыре делителя.
Число 9 — составное, так как оно делится на 1, 3 и 9. У него три делителя.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей. Например, разложение числа 12 на простые множители выглядит так: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Ответ: Составным называют натуральное число, которое больше 1 и имеет делители, отличные от единицы и самого себя.

632. Является ли число 1:

а) простым;

б) составным?

а) По определению, простое число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.
Число $1$ не удовлетворяет этому определению. Во-первых, оно не больше $1$. Во-вторых, у него только один натуральный делитель — само число $1$, а не два.
Следовательно, число $1$ не является простым.
Ответ: нет.

б) По определению, составное число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет более двух натуральных делителей.
Число $1$ не удовлетворяет и этому определению, поскольку у него всего один делитель, а не более двух.
Таким образом, число $1$ не является ни простым, ни составным. Это особая категория натуральных чисел.
Ответ: нет.

633. Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел?

Множество всех натуральных чисел — это последовательность чисел, которые мы используем в повседневной жизни для счёта предметов (например, один стол, два стула, три яблока). Эти числа возникают естественным образом при перечислении и нумерации.

В математике множество натуральных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой $N$ или специальным символом $\mathbb{N}$. По определению, принятому в большинстве школьных программ, оно включает в себя все целые положительные числа, начиная с 1.

Таким образом, ряд натуральных чисел выглядит следующим образом:
$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , n, n+1, ...\}$

Ключевые свойства множества натуральных чисел:

• Начальный элемент: Самое маленькое натуральное число — это 1.
• Бесконечность: Множество натуральных чисел бесконечно. Для любого, даже самого большого, натурального числа всегда можно найти следующее, просто прибавив к нему единицу. Поэтому наибольшего натурального числа не существует.
• Дискретность: Между любыми двумя соседними натуральными числами (например, 5 и 6) нет других натуральных чисел.

Стоит отметить, что в некоторых разделах математики, особенно в теории множеств и информатике, к натуральным числам также относят число 0. В таких случаях говорят о множестве расширенных натуральных чисел и обозначают его как $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Однако в рамках стандартной школьной программы и в большинстве классических математических трудов натуральные числа начинаются с 1.

Ответ: Множество всех натуральных чисел состоит из целых положительных чисел, используемых для счета, начиная с 1: $1, 2, 3, 4, 5$ и так далее до бесконечности.

634. Назовите наименьшее простое число.

Простым числом называется натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы найти наименьшее простое число, необходимо последовательно проверять натуральные числа, начиная с наименьшего.

1. Рассмотрим число $1$. По определению, простое число должно быть больше $1$, поэтому $1$ не является простым числом.

2. Рассмотрим следующее натуральное число — $2$. Это число больше $1$. Оно делится без остатка только на $1$ и на $2$. Следовательно, у числа $2$ ровно два делителя, и оно является простым.

Поскольку мы начали проверку с наименьших натуральных чисел, и $2$ — первое число, которое удовлетворяет определению простого числа, то оно и является наименьшим простым числом.

Ответ: $2$

635. На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел?

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Какие из этих чисел являются простыми, какие — составными?

На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел?

Для каждого числа из списка найдём все его натуральные делители (числа, на которые оно делится без остатка).

• Число 5 имеет делители: 1, 5.
• Число 6 имеет делители: 1, 2, 3, 6.
• Число 7 имеет делители: 1, 7.
• Число 8 имеет делители: 1, 2, 4, 8.
• Число 9 имеет делители: 1, 3, 9.
• Число 10 имеет делители: 1, 2, 5, 10.
• Число 11 имеет делители: 1, 11.
• Число 12 имеет делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Число 13 имеет делители: 1, 13.
• Число 14 имеет делители: 1, 2, 7, 14.
• Число 15 имеет делители: 1, 3, 5, 15.

Ответ: Делители чисел: 5 (1, 5); 6 (1, 2, 3, 6); 7 (1, 7); 8 (1, 2, 4, 8); 9 (1, 3, 9); 10 (1, 2, 5, 10); 11 (1, 11); 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12); 13 (1, 13); 14 (1, 2, 7, 14); 15 (1, 3, 5, 15).

Какие из этих чисел являются простыми, какие — составными?

Простое число — это натуральное число (больше 1), которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Составное число — это натуральное число (больше 1), имеющее более двух делителей.

Исходя из найденных делителей, классифицируем числа:

Простыми являются числа, у которых всего два делителя (1 и само число):

• 5
• 7
• 11
• 13

Составными являются числа, у которых больше двух делителей:

• 6 (делители 1, 2, 3, 6)
• 8 (делители 1, 2, 4, 8)
• 9 (делители 1, 3, 9)
• 10 (делители 1, 2, 5, 10)
• 12 (делители 1, 2, 3, 4, 6, 12)
• 14 (делители 1, 2, 7, 14)
• 15 (делители 1, 3, 5, 15)

Ответ: Простые числа: 5, 7, 11, 13. Составные числа: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.

636. Используя признаки делимости, докажите, что число:

а) 7690;

б) 7395;

в) 4256;

г) 12 375;

д) 12 321

является составным.

а) Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что число 7690 является составным, воспользуемся признаком делимости на 10. Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0. Поскольку число 7690 оканчивается на 0, оно делится на 10. Следовательно, у числа 7690 есть как минимум один делитель (10), отличный от 1 и 7690, что доказывает, что оно составное.
Ответ: число 7690 является составным.

б) Чтобы доказать, что число 7395 является составным, воспользуемся признаком делимости на 5. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Число 7395 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Так как у числа 7395 есть делитель 5, оно является составным.
Ответ: число 7395 является составным.

в) Чтобы доказать, что число 4256 является составным, воспользуемся признаком делимости на 2. Число делится на 2 без остатка, если оно является четным, то есть оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Число 4256 оканчивается на 6, значит, оно четное и делится на 2. Так как у числа 4256 есть делитель 2, оно является составным.
Ответ: число 4256 является составным.

г) Чтобы доказать, что число 12 375 является составным, воспользуемся признаком делимости на 5. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Число 12 375 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Так как у числа 12 375 есть делитель 5, оно является составным.
Ответ: число 12 375 является составным.

д) Чтобы доказать, что число 12 321 является составным, воспользуемся признаком делимости на 3. Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 12 321: $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$. Так как сумма цифр (9) делится на 3 ($9 \div 3 = 3$), то и само число 12 321 делится на 3. Поскольку у числа 12 321 есть делитель 3, оно является составным.
Ответ: число 12 321 является составным.

637. Не пользуясь таблицей простых чисел, докажите, что число:

a) 29;

б) 41;

в) 53;

г) 59 является простым.

Чтобы доказать, что число является простым, необходимо проверить, делится ли оно нацело на простые числа, которые не превышают квадратный корень из данного числа. Если число не имеет таких делителей, то оно является простым.

а) 29

1. Найдем квадратный корень из 29. Так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $\sqrt{29}$ находится между 5 и 6. Таким образом, нам нужно проверить делимость на простые числа, не превышающие 5.

2. Простые числа, не превышающие 5: 2, 3, 5.

3. Проверим делимость числа 29 на эти простые числа:
- Деление на 2: 29 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
- Деление на 3: Сумма цифр числа 29 равна $2+9=11$. 11 не делится на 3, значит и 29 не делится на 3.
- Деление на 5: Число 29 не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.

Поскольку 29 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{29}$, оно является простым.

Ответ: Число 29 является простым.

б) 41

1. Найдем квадратный корень из 41. Так как $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, то $\sqrt{41}$ находится между 6 и 7. Нам нужно проверить делимость на простые числа, не превышающие 6.

2. Простые числа, не превышающие 6: 2, 3, 5.

3. Проверим делимость числа 41 на эти простые числа:
- Деление на 2: 41 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
- Деление на 3: Сумма цифр числа 41 равна $4+1=5$. 5 не делится на 3, значит и 41 не делится на 3.
- Деление на 5: Число 41 не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.

Поскольку 41 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{41}$, оно является простым.

Ответ: Число 41 является простым.

в) 53

1. Найдем квадратный корень из 53. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{53}$ находится между 7 и 8. Нам нужно проверить делимость на простые числа, не превышающие 7.

2. Простые числа, не превышающие 7: 2, 3, 5, 7.

3. Проверим делимость числа 53 на эти простые числа:
- Деление на 2: 53 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
- Деление на 3: Сумма цифр числа 53 равна $5+3=8$. 8 не делится на 3, значит и 53 не делится на 3.
- Деление на 5: Число 53 не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
- Деление на 7: $53 \div 7 = 7$ с остатком 4. На 7 не делится.

Поскольку 53 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{53}$, оно является простым.

Ответ: Число 53 является простым.

г) 59

1. Найдем квадратный корень из 59. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{59}$ находится между 7 и 8. Нам нужно проверить делимость на простые числа, не превышающие 7.

2. Простые числа, не превышающие 7: 2, 3, 5, 7.

3. Проверим делимость числа 59 на эти простые числа:
- Деление на 2: 59 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
- Деление на 3: Сумма цифр числа 59 равна $5+9=14$. 14 не делится на 3, значит и 59 не делится на 3.
- Деление на 5: Число 59 не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
- Деление на 7: $59 \div 7 = 8$ с остатком 3. На 7 не делится.

Поскольку 59 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{59}$, оно является простым.

Ответ: Число 59 является простым.

638. С помощью таблицы простых чисел:

а) определите, какие из чисел 47; 69; 127; 301; 447; 517; 673; 879 являются простыми;

б) назовите все простые числа, большие 30, но меньшие 50;

в) назовите все составные числа, большие 30, но меньшие 50.

а) Чтобы определить, является ли число простым, нужно проверить, делится ли оно на другие числа, кроме 1 и самого себя. Для этого можно последовательно проверять делимость на простые числа (2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).
- 47: не делится на 2, 3, 5. $\sqrt{47} \approx 6.8$, поэтому достаточно проверить простые делители до 6. Число 47 является простым.
- 69: сумма цифр $6+9=15$, что делится на 3, значит, и само число делится на 3. $69 = 3 \times 23$. Число 69 является составным.
- 127: не делится на 2, 3, 5, 7, 11. $\sqrt{127} \approx 11.3$, поэтому дальнейшая проверка не требуется. Число 127 является простым.
- 301: при проверке делимости находим, что $301 = 7 \times 43$. Число 301 является составным.
- 447: сумма цифр $4+4+7=15$, что делится на 3. $447 = 3 \times 149$. Число 447 является составным.
- 517: при проверке делимости находим, что $517 = 11 \times 47$. Число 517 является составным.
- 673: проверка делимости на простые числа до $\sqrt{673} \approx 25.9$ не выявляет делителей. Число 673 является простым.
- 879: сумма цифр $8+7+9=24$, что делится на 3. $879 = 3 \times 293$. Число 879 является составным.
Ответ: простыми являются числа 47, 127, 673.

б) Простые числа — это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само себя. Выберем такие числа в промежутке от 30 до 50.
Простые числа в этом диапазоне: 31, 37, 41, 43, 47.
Ответ: 31, 37, 41, 43, 47.

в) Составные числа — это числа, которые имеют более двух делителей. Выберем такие числа в промежутке от 30 до 50. Это все целые числа в данном диапазоне, которые не являются простыми.
Составные числа в этом диапазоне: 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.
Ответ: 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.

639. Являются ли простыми числа 998; 999; 1000?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Все остальные числа, кроме 1, называются составными. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить каждое из предложенных чисел на наличие других делителей.

Число 998

Воспользуемся признаком делимости на 2. Если число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), то оно делится на 2. Число 998 оканчивается на 8, следовательно, оно является четным и делится на 2.

$998 \div 2 = 499$

Поскольку у числа 998 есть делители, отличные от 1 и 998 (например, 2 и 499), оно не является простым. Это составное число.

Ответ: нет, число 998 не является простым.

Число 999

Воспользуемся признаком делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Найдем сумму цифр числа 999:

$9 + 9 + 9 = 27$

Сумма цифр, равная 27, делится на 3 ($27 \div 3 = 9$), значит, и число 999 делится на 3.

$999 \div 3 = 333$

Так как у числа 999 есть как минимум один делитель (число 3), который не равен 1 или 999, оно не является простым. Это составное число.

Ответ: нет, число 999 не является простым.

Число 1000

Это число оканчивается на 0. Любое число, оканчивающееся на 0, делится на 2, 5 и 10 без остатка.

$1000 \div 10 = 100$

Число 1000 имеет множество делителей, кроме 1 и 1000 (например, 2, 4, 5, 8, 10, 20 и т.д.), поэтому оно не является простым. Это составное число.

Ответ: нет, число 1000 не является простым.