Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

646. а) Что называют делителем натурального числа; простым делителем натурального числа?

б) Что значит разложить число на простые множители?

а) Что называют делителем натурального числа; простым делителем натурального числа?

Делителем натурального числа $a$ называют такое натуральное число $b$, на которое число $a$ делится без остатка. Иначе говоря, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$, то $b$ является делителем $a$. Например, для числа 18 делителями являются числа 1, 2, 3, 6, 9, 18, так как $18 = 1 \cdot 18$, $18 = 2 \cdot 9$, $18 = 3 \cdot 6$.

Простым делителем натурального числа называют такой его делитель, который является простым числом. Напомним, что простое число — это натуральное число (больше 1), которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Например, для числа 18 делителями являются 1, 2, 3, 6, 9, 18. Из них простыми числами являются 2 и 3. Следовательно, простыми делителями числа 18 являются числа 2 и 3.

Ответ:

б) Что значит разложить число на простые множители?

Разложить число на простые множители — это значит представить это число в виде произведения его простых делителей. Согласно основной теореме арифметики, любое составное натуральное число (то есть число, имеющее более двух делителей) можно представить в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей.

Например, разложим на простые множители число 84. Для этого последовательно делим число на наименьшие простые делители:
$84 | 2$
$42 | 2$
$21 | 3$
$7 | 7$
$1$
Таким образом, разложение числа 84 на простые множители выглядит так: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$. Это произведение можно записать с использованием степеней: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.

Ответ:

647. Укажите все делители числа:

а) 2;

б) 6;

в) 12;

г) 16;

д) 18;

е) 20;

ж) 1;

з) 48;

и) 100;

к) 104;

л) 121;

м) 256.

а)

Делитель числа — это целое число, на которое данное число делится без остатка. Число 2 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

$2 \div 1 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Следовательно, делителями числа 2 являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

б)

Чтобы найти все делители числа 6, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1. Если число $d$ является делителем числа 6, то результат деления $6/d$ также является его делителем. Будем проверять числа до тех пор, пока делитель не станет больше частного.

$6 \div 1 = 6$. Значит, 1 и 6 являются делителями.

$6 \div 2 = 3$. Значит, 2 и 3 являются делителями.

Следующее число для проверки — 3, но оно уже найдено как частное от деления на 2. Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

в)

Найдем все делители числа 12. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{12} \approx 3.46$.

$12 \div 1 = 12$. Делители: 1 и 12.

$12 \div 2 = 6$. Делители: 2 и 6.

$12 \div 3 = 4$. Делители: 3 и 4.

Мы проверили все целые числа до $\sqrt{12}$, поэтому все делители найдены.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

г)

Найдем все делители числа 16. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{16} = 4$.

$16 \div 1 = 16$. Делители: 1 и 16.

$16 \div 2 = 8$. Делители: 2 и 8.

$16 \div 3$ — деление с остатком, 3 не является делителем.

$16 \div 4 = 4$. Делитель: 4. Так как делитель и частное совпали ($4 \times 4 = 16$), мы нашли все делители.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16.

д)

Найдем все делители числа 18. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{18} \approx 4.24$.

$18 \div 1 = 18$. Делители: 1 и 18.

$18 \div 2 = 9$. Делители: 2 и 9.

$18 \div 3 = 6$. Делители: 3 и 6.

$18 \div 4$ — деление с остатком, 4 не является делителем.

Все пары делителей найдены.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

е)

Найдем все делители числа 20. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{20} \approx 4.47$.

$20 \div 1 = 20$. Делители: 1 и 20.

$20 \div 2 = 10$. Делители: 2 и 10.

$20 \div 3$ — деление с остатком, 3 не является делителем.

$20 \div 4 = 5$. Делители: 4 и 5.

Все пары делителей найдены.

Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

ж)

Число 1 имеет только один натуральный делитель — само себя.

$1 \div 1 = 1$.

Ответ: 1.

з)

Найдем все делители числа 48. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{48} \approx 6.92$.

$48 \div 1 = 48$. Делители: 1 и 48.

$48 \div 2 = 24$. Делители: 2 и 24.

$48 \div 3 = 16$. Делители: 3 и 16.

$48 \div 4 = 12$. Делители: 4 и 12.

$48 \div 5$ — деление с остатком, 5 не является делителем.

$48 \div 6 = 8$. Делители: 6 и 8.

Все пары делителей найдены.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

и)

Найдем все делители числа 100. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{100} = 10$.

$100 \div 1 = 100$. Делители: 1 и 100.

$100 \div 2 = 50$. Делители: 2 и 50.

$100 \div 3$ — деление с остатком.

$100 \div 4 = 25$. Делители: 4 и 25.

$100 \div 5 = 20$. Делители: 5 и 20.

Числа 6, 7, 8, 9 не являются делителями 100.

$100 \div 10 = 10$. Делитель: 10.

Все делители найдены.

Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

к)

Найдем все делители числа 104. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{104} \approx 10.19$.

$104 \div 1 = 104$. Делители: 1 и 104.

$104 \div 2 = 52$. Делители: 2 и 52.

$104 \div 3$ — деление с остатком.

$104 \div 4 = 26$. Делители: 4 и 26.

Числа 5, 6, 7 не являются делителями 104.

$104 \div 8 = 13$. Делители: 8 и 13.

Числа 9, 10 не являются делителями 104.

Все пары делителей найдены.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104.

л)

Найдем все делители числа 121. Будем проверять числа $d$ от 1 до $\sqrt{121} = 11$.

$121 \div 1 = 121$. Делители: 1 и 121.

Проверяем делимость на простые числа до 11: 2, 3, 5, 7. 121 на них не делится.

$121 \div 11 = 11$. Делитель: 11.

Все делители найдены.

Ответ: 1, 11, 121.

м)

Найдем все делители числа 256. Число 256 является степенью числа 2: $256 = 2^8$.

Следовательно, его делителями будут все степени числа 2 от $2^0$ до $2^8$.

$2^0 = 1$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

$2^8 = 256$

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.

648. Запишите пять натуральных чисел, имеющих делителями числа:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$;

д) $9$;

е) $10$;

ж) $2$ и $3$;

з) $3$ и $4$;

и) $2$ и $5$;

к) $4$ и $9$.

а) 2

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 2, необходимо найти числа, которые делятся на 2 без остатка, то есть числа, кратные 2. В качестве примера приведем первые пять таких натуральных чисел, умножив 2 на 1, 2, 3, 4 и 5:

$2 \cdot 1 = 2$

$2 \cdot 2 = 4$

$2 \cdot 3 = 6$

$2 \cdot 4 = 8$

$2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10.

б) 3

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 3, необходимо найти числа, которые делятся на 3 без остатка, то есть числа, кратные 3. Приведем пять таких чисел:

$3 \cdot 1 = 3$

$3 \cdot 2 = 6$

$3 \cdot 3 = 9$

$3 \cdot 4 = 12$

$3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

в) 4

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 4, необходимо найти числа, кратные 4. Приведем пять таких чисел:

$4 \cdot 1 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$4 \cdot 3 = 12$

$4 \cdot 4 = 16$

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

г) 5

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 5, необходимо найти числа, кратные 5. Приведем пять таких чисел:

$5 \cdot 1 = 5$

$5 \cdot 2 = 10$

$5 \cdot 3 = 15$

$5 \cdot 4 = 20$

$5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 5, 10, 15, 20, 25.

д) 9

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 9, необходимо найти числа, кратные 9. Приведем пять таких чисел:

$9 \cdot 1 = 9$

$9 \cdot 2 = 18$

$9 \cdot 3 = 27$

$9 \cdot 4 = 36$

$9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 9, 18, 27, 36, 45.

е) 10

Чтобы найти натуральные числа, имеющие своим делителем число 10, необходимо найти числа, кратные 10. Приведем пять таких чисел:

$10 \cdot 1 = 10$

$10 \cdot 2 = 20$

$10 \cdot 3 = 30$

$10 \cdot 4 = 40$

$10 \cdot 5 = 50$

Ответ: 10, 20, 30, 40, 50.

ж) 2 и 3

Чтобы найти натуральные числа, которые имеют своими делителями одновременно числа 2 и 3, нужно найти числа, кратные их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(2, 3) = $2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, искомые числа должны быть кратны 6.

Найдем первые пять чисел, кратных 6:

$6 \cdot 1 = 6$

$6 \cdot 2 = 12$

$6 \cdot 3 = 18$

$6 \cdot 4 = 24$

$6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 6, 12, 18, 24, 30.

з) 3 и 4

Чтобы найти натуральные числа, которые имеют своими делителями одновременно числа 3 и 4, нужно найти числа, кратные их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 3 и 4 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(3, 4) = $3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, искомые числа должны быть кратны 12.

Найдем первые пять чисел, кратных 12:

$12 \cdot 1 = 12$

$12 \cdot 2 = 24$

$12 \cdot 3 = 36$

$12 \cdot 4 = 48$

$12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 12, 24, 36, 48, 60.

и) 2 и 5

Чтобы найти натуральные числа, которые имеют своими делителями одновременно числа 2 и 5, нужно найти числа, кратные их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 2 и 5 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(2, 5) = $2 \cdot 5 = 10$. Таким образом, искомые числа должны быть кратны 10.

Найдем первые пять чисел, кратных 10:

$10 \cdot 1 = 10$

$10 \cdot 2 = 20$

$10 \cdot 3 = 30$

$10 \cdot 4 = 40$

$10 \cdot 5 = 50$

Ответ: 10, 20, 30, 40, 50.

к) 4 и 9

Чтобы найти натуральные числа, которые имеют своими делителями одновременно числа 4 и 9, нужно найти числа, кратные их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 4 и 9 — взаимно простые числа (у них нет общих делителей кроме 1), их НОК равно их произведению: НОК(4, 9) = $4 \cdot 9 = 36$. Таким образом, искомые числа должны быть кратны 36.

Найдем первые пять чисел, кратных 36:

$36 \cdot 1 = 36$

$36 \cdot 2 = 72$

$36 \cdot 3 = 108$

$36 \cdot 4 = 144$

$36 \cdot 5 = 180$

Ответ: 36, 72, 108, 144, 180.

649. Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме:

а) $2$;

б) $3$;

в) $5$;

г) $2$ и $3$;

д) $2$ и $5$.

а) 2

Натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, являются степенями числа 2. Это означает, что их можно представить в виде $2^n$, где $n$ — натуральное число. Выберем пять таких чисел, взяв, например, $n = 1, 2, 3, 4, 5$:

• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$
• $2^5 = 32$

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32.

б) 3

Натуральные числа, у которых единственный простой делитель — это 3, являются степенями числа 3. Их общая формула: $3^n$, где $n$ — натуральное число. Приведем пять примеров, взяв $n = 1, 2, 3, 4, 5$:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$
• $3^4 = 81$
• $3^5 = 243$

Ответ: 3, 9, 27, 81, 243.

в) 5

Натуральные числа, у которых единственный простой делитель — это 5, являются степенями числа 5. Их можно записать как $5^n$, где $n$ — натуральное число. Приведем пять примеров для $n = 1, 2, 3, 4, 5$:

• $5^1 = 5$
• $5^2 = 25$
• $5^3 = 125$
• $5^4 = 625$
• $5^5 = 3125$

Ответ: 5, 25, 125, 625, 3125.

г) 2 и 3

Натуральные числа, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 3, должны состоять только из этих простых множителей. Их можно представить в виде $2^n \cdot 3^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа, и хотя бы одно из них не равно нулю ($n+m \ge 1$). Приведем пять примеров, выбирая различные значения для $n$ и $m$:

• При $n=1, m=0$: $2^1 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$
• При $n=0, m=1$: $2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3$
• При $n=1, m=1$: $2^1 \cdot 3^1 = 6$
• При $n=2, m=1$: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$
• При $n=1, m=2$: $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 2, 3, 6, 12, 18.

д) 2 и 5

Натуральные числа, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 5, должны состоять только из этих простых множителей. Их общая формула: $2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа, и $n+m \ge 1$. Приведем пять примеров, выбирая различные значения для $n$ и $m$:

• При $n=1, m=0$: $2^1 \cdot 5^0 = 2 \cdot 1 = 2$
• При $n=0, m=1$: $2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$
• При $n=1, m=1$: $2^1 \cdot 5^1 = 10$
• При $n=2, m=1$: $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$
• При $n=1, m=2$: $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$

Ответ: 2, 5, 10, 20, 50.

650. Найдите все делители числа $a$:

a) $a=2 \cdot 3 \cdot 5$; б) $a=3 \cdot 5 \cdot 7$; в) $a=3 \cdot 3 \cdot 11$; г) $a=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.

Решение. а) Число $a$ имеет простые делители: 2, 3 и 5. Другие делители найдём, составляя различные произведения из этих простых делителей: $2 \cdot 3 = 6$; $2 \cdot 5 = 10$; $3 \cdot 5 = 15$; $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Кроме того, число $a$ делится на 1.

Ответ. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

а) Дано число, разложенное на простые множители: $a = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Чтобы найти все делители числа, необходимо составить все возможные произведения из его простых множителей (2, 3, 5). Любое число также делится на 1 и на само себя.

• Делитель 1.
• Простые делители: 2, 3, 5.
• Делители, являющиеся произведением двух простых множителей: $2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 5 = 10$, $3 \cdot 5 = 15$.
• Делитель, являющийся произведением трех простых множителей (само число): $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

б) Дано число, разложенное на простые множители: $a = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Найдем все делители, составляя все возможные произведения из его простых множителей (3, 5, 7).

• Делитель 1.
• Простые делители: 3, 5, 7.
• Делители, являющиеся произведением двух простых множителей: $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 7 = 21$, $5 \cdot 7 = 35$.
• Делитель, являющийся произведением трех простых множителей (само число): $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

в) Дано число, разложенное на простые множители: $a = 3 \cdot 3 \cdot 11$. Можно записать как $a = 3^2 \cdot 11$.

Найдем все делители, составляя все возможные произведения из множителей 3, 3, 11.

• Делитель 1.
• Простые делители: 3, 11.
• Делители, являющиеся произведением двух множителей: $3 \cdot 3 = 9$, $3 \cdot 11 = 33$.
• Делитель, являющийся произведением трех множителей (само число): $3 \cdot 3 \cdot 11 = 99$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

г) Дано число, разложенное на простые множители: $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$. Можно записать как $a = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Найдем все делители, составляя все возможные произведения из множителей 3, 5, 5, 7.

• Делитель 1.
• Простые делители: 3, 5, 7.
• Делители, являющиеся произведением двух множителей: $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 7 = 21$, $5 \cdot 5 = 25$, $5 \cdot 7 = 35$.
• Делители, являющиеся произведением трех множителей: $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$, $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$, $5 \cdot 5 \cdot 7 = 175$.
• Делитель, являющийся произведением четырех множителей (само число): $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 525$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.

651. Разложите на простые множители число:

а) $16$;

б) $18$;

в) $26$;

г) $35$;

д) $48$;

е) $70$;

ж) $144$;

з) $210$;

и) $800$;

к) $216$;

л) $343$;

м) $1024$.

а) 16. Чтобы разложить число 16 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьший простой делитель, которым является 2, до тех пор, пока в частном не получится 1.
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Таким образом, число 16 является произведением четырех двоек.
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Ответ: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ или $2^4$.

б) 18. Разложим число 18. Начнем деление с наименьшего простого числа 2.
$18 \div 2 = 9$
Число 9 на 2 не делится. Следующий простой делитель — 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 является простым.
$3 \div 3 = 1$
Следовательно, разложение числа 18 на простые множители имеет вид:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
Ответ: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ или $2 \cdot 3^2$.

в) 26. Разложим число 26. Это четное число, поэтому делим его на 2.
$26 \div 2 = 13$
Число 13 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
Таким образом, простые множители числа 26 — это 2 и 13.
$26 = 2 \cdot 13$
Ответ: $26 = 2 \cdot 13$.

г) 35. Разложим число 35. Оно нечетное. Сумма цифр ($3+5=8$) не делится на 3. Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$35 \div 5 = 7$
Число 7 является простым.
Значит, разложение числа 35 на простые множители:
$35 = 5 \cdot 7$
Ответ: $35 = 5 \cdot 7$.

д) 48. Разложим число 48. Делим последовательно на 2.
$48 \div 2 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
Число 3 является простым.
В результате получаем разложение:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
Ответ: $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ или $2^4 \cdot 3$.

е) 70. Разложим число 70. Начинаем с деления на 2.
$70 \div 2 = 35$
Далее делим на 5.
$35 \div 5 = 7$
Число 7 является простым.
Таким образом, разложение числа 70:
$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Ответ: $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

ж) 144. Разложим число 144. Последовательно делим на 2.
$144 \div 2 = 72$
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
Теперь делим на 3.
$9 \div 3 = 3$
3 — простое число.
Получаем разложение:
$144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2$
Ответ: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ или $2^4 \cdot 3^2$.

з) 210. Разложим число 210. Оно делится на 2.
$210 \div 2 = 105$
Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$105 \div 3 = 35$
Далее делим на 5.
$35 \div 5 = 7$
7 — простое число.
Таким образом, разложение числа 210:
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Ответ: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

и) 800. Разложим число 800. Будем последовательно делить на простые числа.
$800 \div 2 = 400$
$400 \div 2 = 200$
$200 \div 2 = 100$
$100 \div 2 = 50$
$50 \div 2 = 25$
Теперь делим на 5.
$25 \div 5 = 5$
5 — простое число.
Получаем разложение:
$800 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^2$
Ответ: $800 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ или $2^5 \cdot 5^2$.

к) 216. Разложим число 216. Делим на 2.
$216 \div 2 = 108$
$108 \div 2 = 54$
$54 \div 2 = 27$
Теперь делим на 3.
$27 \div 3 = 9$
$9 \div 3 = 3$
3 — простое число.
Таким образом, разложение числа 216:
$216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$
Ответ: $216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ или $2^3 \cdot 3^3$.

л) 343. Разложим число 343. Проверяем делимость на простые числа по порядку. Оно не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7.
$343 \div 7 = 49$
Число 49 также делится на 7.
$49 \div 7 = 7$
7 — простое число.
Следовательно, разложение числа 343:
$343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$
Ответ: $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ или $7^3$.

м) 1024. Разложим число 1024. Это четное число, будем последовательно делить на 2.
$1024 \div 2 = 512$
$512 \div 2 = 256$
$256 \div 2 = 128$
$128 \div 2 = 64$
$64 \div 2 = 32$
$32 \div 2 = 16$
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Мы разделили на 2 десять раз.
Таким образом, разложение числа 1024:
$1024 = 2^{10}$
Ответ: $1024 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ или $2^{10}$.

652. Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1:

а) $20 \cdot 24$;

б) $12 \cdot 25$;

в) $164 \cdot 10$;

г) $8 \cdot 125$;

д) $125 \cdot 64$;

е) $112 \cdot 147$;

ж) $1001 \cdot 37$;

з) $47 \cdot 201$.

Чтобы представить данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1, необходимо разложить каждый из сомножителей на простые множители и записать их произведение.

а) $20 \cdot 24$

Разложим на простые множители числа 20 и 24:

$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Следовательно, произведение $20 \cdot 24$ можно представить в виде:

$(2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

б) $12 \cdot 25$

Разложим на простые множители числа 12 и 25:

$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

$25 = 5 \cdot 5$

Следовательно, произведение $12 \cdot 25$ можно представить в виде:

$(2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.

в) $164 \cdot 10$

Разложим на простые множители числа 164 и 10:

$164 = 2 \cdot 82 = 2 \cdot 2 \cdot 41$

$10 = 2 \cdot 5$

Следовательно, произведение $164 \cdot 10$ можно представить в виде:

$(2 \cdot 2 \cdot 41) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 41$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 41$.

г) $8 \cdot 125$

Разложим на простые множители числа 8 и 125:

$8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2$

$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

Следовательно, произведение $8 \cdot 125$ можно представить в виде:

$(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

д) $125 \cdot 64$

Разложим на простые множители числа 125 и 64:

$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Следовательно, произведение $125 \cdot 64$ можно представить в виде:

$(5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

е) $112 \cdot 147$

Разложим на простые множители числа 112 и 147:

$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$

$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7 \cdot 7$

Следовательно, произведение $112 \cdot 147$ можно представить в виде:

$(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 7) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$.

ж) $1001 \cdot 37$

Разложим на простые множители число 1001. Число 37 является простым.

$1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13$

Следовательно, произведение $1001 \cdot 37$ можно представить в виде:

$(7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot 37 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

Ответ: $7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$.

з) $47 \cdot 201$

Разложим на простые множители число 201. Число 47 является простым.

$201 = 3 \cdot 67$ (число 67 также является простым)

Следовательно, произведение $47 \cdot 201$ можно представить в виде:

$47 \cdot (3 \cdot 67) = 3 \cdot 47 \cdot 67$

Ответ: $3 \cdot 47 \cdot 67$.

653. Запишите в порядке возрастания все делители числа:

а) 12;

б) 15;

в) 18;

г) 24.

Делитель числа — это целое число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно заданному числу. Затем все найденные числа нужно расположить в порядке возрастания.

а) 12

Найдем все пары множителей, которые в произведении дают 12:
$1 \cdot 12 = 12$
$2 \cdot 6 = 12$
$3 \cdot 4 = 12$
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Они уже расположены в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

б) 15

Найдем все пары множителей, которые в произведении дают 15:
$1 \cdot 15 = 15$
$3 \cdot 5 = 15$
Делителями числа 15 являются числа 1, 3, 5, 15. Расположим их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 3, 5, 15.

в) 18

Найдем все пары множителей, которые в произведении дают 18:
$1 \cdot 18 = 18$
$2 \cdot 9 = 18$
$3 \cdot 6 = 18$
Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6, 9, 18. Расположим их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

г) 24

Найдем все пары множителей, которые в произведении дают 24:
$1 \cdot 24 = 24$
$2 \cdot 12 = 24$
$3 \cdot 8 = 24$
$4 \cdot 6 = 24$
Делителями числа 24 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Расположим их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

654. Выполняя предыдущее задание, можно заметить, что делители числа 18 обладают интересным свойством:

1, 2, 3, 6, 9, 18

$1 \cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6 = 18$

Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18. Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 18: 1, 2, 3, 6. После того как найдена «середина» в ряду делителей, остальные делители найдём делением: $18 : 2 = 9$, $18 : 1 = 18$. Используя этот приём, найдите все делители числа: а) 32; б) 48; в) 56; г) 36; д) 98.

Для нахождения всех делителей числа используется метод, при котором делители ищутся парами. Мы последовательно проверяем натуральные числа, начиная с 1. Если число $d$ является делителем исходного числа $N$, то число $N/d$ также является его делителем. Поиск можно прекратить, когда проверяемое число в квадрате становится больше $N$, так как это означает, что все меньшие делители уже найдены, а соответствующие им большие делители получены делением.

Чтобы найти все делители числа 32, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $32 \div 1 = 32$. Найдена пара делителей: 1 и 32.
• $32 \div 2 = 16$. Найдена пара делителей: 2 и 16.
• 32 не делится на 3.
• $32 \div 4 = 8$. Найдена пара делителей: 4 и 8.
• 32 не делится на 5.

Следующий возможный делитель — 6, но $6^2 = 36$, а это больше 32. Значит, мы нашли все пары делителей. Расположим их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Чтобы найти все делители числа 48, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $48 \div 1 = 48$. Пара: 1 и 48.
• $48 \div 2 = 24$. Пара: 2 и 24.
• $48 \div 3 = 16$. Пара: 3 и 16.
• $48 \div 4 = 12$. Пара: 4 и 12.
• 48 не делится на 5.
• $48 \div 6 = 8$. Пара: 6 и 8.

Следующий возможный делитель — 7, но $7^2 = 49$, а это больше 48. Поиск завершен. Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Чтобы найти все делители числа 56, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $56 \div 1 = 56$. Пара: 1 и 56.
• $56 \div 2 = 28$. Пара: 2 и 28.
• 56 не делится на 3.
• $56 \div 4 = 14$. Пара: 4 и 14.
• 56 не делится на 5 и 6.
• $56 \div 7 = 8$. Пара: 7 и 8.

Так как делители в последней паре (7 и 8) идут подряд (или почти подряд), мы нашли «середину» ряда делителей. Следующий делитель (8) уже есть в найденной паре. Расположим все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Чтобы найти все делители числа 36, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $36 \div 1 = 36$. Пара: 1 и 36.
• $36 \div 2 = 18$. Пара: 2 и 18.
• $36 \div 3 = 12$. Пара: 3 и 12.
• $36 \div 4 = 9$. Пара: 4 и 9.
• 36 не делится на 5.
• $36 \div 6 = 6$. Так как 36 — это полный квадрат ($6^2=36$), делитель 6 образует пару сам с собой. Это и есть «середина» ряда.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Чтобы найти все делители числа 98, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $98 \div 1 = 98$. Пара: 1 и 98.
• $98 \div 2 = 49$. Пара: 2 и 49.
• 98 не делится на 3, 4, 5, 6.
• $98 \div 7 = 14$. Пара: 7 и 14.
• 98 не делится на 8, 9.

Следующий возможный делитель — 10, но $10^2 = 100$, что больше 98. Значит, поиск завершен. Расположим все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 7, 14, 49, 98.