Номер 654, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

654. Выполняя предыдущее задание, можно заметить, что делители числа 18 обладают интересным свойством:

1, 2, 3, 6, 9, 18

$1 \cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6 = 18$

Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18. Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 18: 1, 2, 3, 6. После того как найдена «середина» в ряду делителей, остальные делители найдём делением: $18 : 2 = 9$, $18 : 1 = 18$. Используя этот приём, найдите все делители числа: а) 32; б) 48; в) 56; г) 36; д) 98.

Для нахождения всех делителей числа используется метод, при котором делители ищутся парами. Мы последовательно проверяем натуральные числа, начиная с 1. Если число $d$ является делителем исходного числа $N$, то число $N/d$ также является его делителем. Поиск можно прекратить, когда проверяемое число в квадрате становится больше $N$, так как это означает, что все меньшие делители уже найдены, а соответствующие им большие делители получены делением.

Чтобы найти все делители числа 32, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $32 \div 1 = 32$. Найдена пара делителей: 1 и 32.
• $32 \div 2 = 16$. Найдена пара делителей: 2 и 16.
• 32 не делится на 3.
• $32 \div 4 = 8$. Найдена пара делителей: 4 и 8.
• 32 не делится на 5.

Следующий возможный делитель — 6, но $6^2 = 36$, а это больше 32. Значит, мы нашли все пары делителей. Расположим их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Чтобы найти все делители числа 48, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $48 \div 1 = 48$. Пара: 1 и 48.
• $48 \div 2 = 24$. Пара: 2 и 24.
• $48 \div 3 = 16$. Пара: 3 и 16.
• $48 \div 4 = 12$. Пара: 4 и 12.
• 48 не делится на 5.
• $48 \div 6 = 8$. Пара: 6 и 8.

Следующий возможный делитель — 7, но $7^2 = 49$, а это больше 48. Поиск завершен. Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Чтобы найти все делители числа 56, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $56 \div 1 = 56$. Пара: 1 и 56.
• $56 \div 2 = 28$. Пара: 2 и 28.
• 56 не делится на 3.
• $56 \div 4 = 14$. Пара: 4 и 14.
• 56 не делится на 5 и 6.
• $56 \div 7 = 8$. Пара: 7 и 8.

Так как делители в последней паре (7 и 8) идут подряд (или почти подряд), мы нашли «середину» ряда делителей. Следующий делитель (8) уже есть в найденной паре. Расположим все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Чтобы найти все делители числа 36, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $36 \div 1 = 36$. Пара: 1 и 36.
• $36 \div 2 = 18$. Пара: 2 и 18.
• $36 \div 3 = 12$. Пара: 3 и 12.
• $36 \div 4 = 9$. Пара: 4 и 9.
• 36 не делится на 5.
• $36 \div 6 = 6$. Так как 36 — это полный квадрат ($6^2=36$), делитель 6 образует пару сам с собой. Это и есть «середина» ряда.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Чтобы найти все делители числа 98, будем подбирать их парами. Проверяем числа, начиная с 1.

• $98 \div 1 = 98$. Пара: 1 и 98.
• $98 \div 2 = 49$. Пара: 2 и 49.
• 98 не делится на 3, 4, 5, 6.
• $98 \div 7 = 14$. Пара: 7 и 14.
• 98 не делится на 8, 9.

Следующий возможный делитель — 10, но $10^2 = 100$, что больше 98. Значит, поиск завершен. Расположим все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 7, 14, 49, 98.