Номер 659, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

659. а) Подберите такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$.

б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$?

в) Можно ли подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$?

а) Дано равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Заметим, что левую часть уравнения можно упростить, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3 \cdot (a + 2b) = 1998$

Теперь разделим обе части равенства на 3:

$a + 2b = \frac{1998}{3}$

$a + 2b = 666$

Нам нужно найти любую пару натуральных чисел ($a \geq 1, b \geq 1$), удовлетворяющую этому уравнению. Выразим $a$ через $b$:

$a = 666 - 2b$

Так как $a$ должно быть натуральным числом, то $a \geq 1$.

$666 - 2b \geq 1$

$665 \geq 2b$

$b \leq 332.5$

Это означает, что мы можем выбрать любое натуральное число $b$ в диапазоне от 1 до 332, и для него найдется соответствующее натуральное число $a$.

Например, выберем $b = 1$. Тогда:

$a = 666 - 2 \cdot 1 = 664$

Числа $a=664$ и $b=1$ являются натуральными. Проверим, подставив их в исходное равенство:

$3 \cdot 664 + 6 \cdot 1 = 1992 + 6 = 1998$.

Равенство выполняется.

Ответ: Например, можно подобрать $a=664$ и $b=1$.

б) Дано равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $3a + 6b$. Оба слагаемых, $3a$ и $6b$, кратны 3. Это означает, что их сумма также должна быть кратна 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3 \cdot (a + 2b)$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение $a+2b$ также является натуральным числом. Следовательно, левая часть уравнения $3(a+2b)$ всегда делится на 3 без остатка.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения — число 1999. Чтобы проверить, делится ли оно на 3, воспользуемся признаком делимости на 3: сложим все его цифры.

$1 + 9 + 9 + 9 = 28$

Число 28 не делится на 3 ($28 = 3 \cdot 9 + 1$). Следовательно, и число 1999 не делится на 3.

Получается противоречие: левая часть равенства всегда делится на 3, а правая — нет. Такое равенство не может быть верным ни для каких натуральных $a$ и $b$.

Ответ: Нельзя, так как левая часть равенства $(3a+6b)$ всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится.

в) Дано равенство $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$.

Чтобы это уравнение имело решение в натуральных (или даже в целых) числах, необходимо, чтобы правая часть (996) делилась на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов левой части (18 и 81).

Найдем НОД(18, 81).

Разложим числа на простые множители:
$18 = 2 \cdot 3^2$
$81 = 3^4$

НОД(18, 81) = $3^2 = 9$.

Левая часть уравнения, $18a + 81b$, всегда делится на 9, так как оба слагаемых делятся на 9. Это можно показать, вынеся 9 за скобки:

$9 \cdot (2a + 9b) = 996$

Из этого следует, что правая часть уравнения, число 996, также должна делиться на 9. Проверим это с помощью признака делимости на 9: сложим цифры числа 996.

$9 + 9 + 6 = 24$

Число 24 не делится на 9 ($24 = 9 \cdot 2 + 6$). Следовательно, и число 996 не делится на 9.

Мы снова пришли к противоречию: левая часть равенства для любых натуральных $a$ и $b$ делится на 9, а правая часть на 9 не делится. Значит, подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$ невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.