Номер 658, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

658. Определите, является число простым или составным:

а) 89;

б) 123;

в) 279;

г) 335;

д) 642;

е) 601;

ж) 729;

з) 835;

и) 1571;

к) 2563;

л) 7777;

м) 442 233.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

а) 89
Чтобы определить, является ли число 89 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{89}$.
$\sqrt{89} \approx 9.4$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7.
1. Число 89 нечетное, значит, оно не делится на 2.
2. Сумма цифр числа 89 равна $8 + 9 = 17$. 17 не делится на 3, следовательно, 89 не делится на 3.
3. Число 89 не оканчивается на 0 или 5, значит, оно не делится на 5.
4. Проверим делимость на 7: $89 = 7 \times 12 + 5$. Число не делится на 7 без остатка.
Так как 89 не имеет простых делителей до $\sqrt{89}$, оно является простым числом.
Ответ: простое.

б) 123
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа 123 равна $1 + 2 + 3 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и число 123 делится на 3.
$123 = 3 \times 41$.
Поскольку число 123 имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 3 и 41), оно является составным.
Ответ: составное.

в) 279
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа 279 равна $2 + 7 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 3 и на 9, то и число 279 делится на 3 и на 9.
$279 = 9 \times 31$.
Поскольку число 279 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.
Ответ: составное.

г) 335
Число 335 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5.
$335 = 5 \times 67$.
Поскольку число 335 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.
Ответ: составное.

д) 642
Число 642 оканчивается на цифру 2, значит, оно является четным и делится на 2.
$642 = 2 \times 321$.
Любое четное число больше 2 является составным.
Ответ: составное.

е) 601
Проверим делимость числа 601 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{601}$.
$\sqrt{601} \approx 24.5$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- Не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр $6+0+1=7$, не делится на 3.
- Не оканчивается на 0 или 5, не делится на 5.
- $601 \div 7 = 85$ (ост. 6).
- $601 \div 11 = 54$ (ост. 7).
- $601 \div 13 = 46$ (ост. 3).
- $601 \div 17 = 35$ (ост. 6).
- $601 \div 19 = 31$ (ост. 12).
- $601 \div 23 = 26$ (ост. 3).
Так как 601 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{601}$, оно является простым.
Ответ: простое.

ж) 729
Сумма цифр числа 729 равна $7 + 2 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 729 делится на 9.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
Число является составным.
Ответ: составное.

з) 835
Число 835 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5.
$835 = 5 \times 167$.
Число является составным.
Ответ: составное.

и) 1571
Проверим делимость числа 1571 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{1571}$.
$\sqrt{1571} \approx 39.6$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
- Не делится на 2, 3 (сумма цифр 14), 5.
- $1571 \div 7 = 224$ (ост. 3).
- $1571 \div 11 = 142$ (ост. 9).
- $1571 \div 13 = 120$ (ост. 11).
- $1571 \div 17 = 92$ (ост. 7).
- $1571 \div 19 = 82$ (ост. 13).
- $1571 \div 23 = 68$ (ост. 7).
- $1571 \div 29 = 54$ (ост. 5).
- $1571 \div 31 = 50$ (ост. 21).
- $1571 \div 37 = 42$ (ост. 17).
Так как 1571 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{1571}$, оно является простым.
Ответ: простое.

к) 2563
Проверим число по признакам делимости. Для проверки делимости на 11 найдем знакопеременную сумму цифр: $3 - 6 + 5 - 2 = 0$. Так как 0 делится на 11, то и число 2563 делится на 11.
$2563 = 11 \times 233$.
Число является составным.
Ответ: составное.

л) 7777
Очевидно, что число 7777 делится на 7.
$7777 = 7 \times 1111$.
Также можно заметить, что $7777 = 77 \times 101$.
Число является составным.
Ответ: составное.

м) 442 233
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа равна $4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 = 18$. Так как 18 делится на 3 и на 9, то и число 442 233 делится на 3 и на 9.
$442233 = 3 \times 147411$.
Число является составным.
Ответ: составное.