Номер 657, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

657. Разложите на простые множители число:

а) 64;

б) 200;

в) 288;

г) 256;

д) 333;

е) 346;

ж) 512;

з) 8100;

и) 4096;

к) 2500;

л) 888;

м) 2525.

а) 64

Чтобы разложить число 64 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьший простой делитель. Число 64 четное, поэтому делим его на 2.

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Мы выполнили деление на 2 шесть раз. Таким образом, разложение числа 64 на простые множители выглядит так: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Ответ: $64 = 2^6$.

б) 200

Разложим число 200. Оно четное, делим на 2.

$200 : 2 = 100$

$100 : 2 = 50$

$50 : 2 = 25$

Число 25 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.

$25 : 5 = 5$

$5 : 5 = 1$

Таким образом, разложение числа 200: $200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2$.

Ответ: $200 = 2^3 \cdot 5^2$.

в) 288

Разложим число 288. Оно четное, делим на 2.

$288 : 2 = 144$

$144 : 2 = 72$

$72 : 2 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 : 2 = 9$

Число 9 делится на 3.

$9 : 3 = 3$

$3 : 3 = 1$

Следовательно, разложение числа 288: $288 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^2$.

Ответ: $288 = 2^5 \cdot 3^2$.

г) 256

Разложим число 256. Оно четное, делим на 2.

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление на 2 было выполнено восемь раз. Таким образом, разложение числа 256: $256 = 2^8$.

Ответ: $256 = 2^8$.

д) 333

Разложим число 333. Сумма его цифр $3+3+3=9$ делится на 3, значит, и само число делится на 3.

$333 : 3 = 111$

Сумма цифр числа 111 ($1+1+1=3$) также делится на 3.

$111 : 3 = 37$

Число 37 является простым. Таким образом, разложение числа 333: $333 = 3 \cdot 3 \cdot 37 = 3^2 \cdot 37$.

Ответ: $333 = 3^2 \cdot 37$.

е) 346

Разложим число 346. Оно четное, делим на 2.

$346 : 2 = 173$

Проверим, является ли число 173 простым. Оно не делится на 3 (сумма цифр 11), не оканчивается на 0 или 5. Проверим деление на другие простые числа: 7, 11, 13. $\sqrt{173} \approx 13.15$, поэтому достаточно проверить простые делители до 13.

$173 : 7 = 24$ (остаток 5)

$173 : 11 = 15$ (остаток 8)

$173 : 13 = 13$ (остаток 4)

Число 173 является простым. Следовательно, разложение числа 346: $346 = 2 \cdot 173$.

Ответ: $346 = 2 \cdot 173$.

ж) 512

Разложим число 512. Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2.

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление на 2 было выполнено девять раз. Таким образом, разложение числа 512: $512 = 2^9$.

Ответ: $512 = 2^9$.

з) 8100

Разложим число 8100. Его можно представить как произведение $81 \cdot 100$.

Разложим на множители 81: $81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Разложим на множители 100: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Объединяя множители, получаем: $8100 = 81 \cdot 100 = (3^4) \cdot (2^2 \cdot 5^2)$.

Запишем в порядке возрастания простых множителей: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

Ответ: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

и) 4096

Разложим число 4096. Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2.

$4096 : 2 = 2048$

$2048 : 2 = 1024$

$1024 : 2 = 512$

Из пункта ж) мы знаем, что $512 = 2^9$. Значит, $4096 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 512 = 2^3 \cdot 2^9 = 2^{12}$.

Таким образом, разложение числа 4096: $4096 = 2^{12}$.

Ответ: $4096 = 2^{12}$.

к) 2500

Разложим число 2500. Его можно представить как произведение $25 \cdot 100$.

Разложим 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Разложим 100: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Объединяя множители, получаем: $2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^2 \cdot 5^{2+2} = 2^2 \cdot 5^4$.

Ответ: $2500 = 2^2 \cdot 5^4$.

л) 888

Разложим число 888. Его можно представить как $8 \cdot 111$.

Разложим 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Разложим 111. Сумма цифр $1+1+1=3$ делится на 3, значит 111 делится на 3:

$111 : 3 = 37$.

Число 37 является простым.

Объединяя множители, получаем: $888 = 8 \cdot 111 = (2^3) \cdot (3 \cdot 37) = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.

Ответ: $888 = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.

м) 2525

Разложим число 2525. Можно заметить, что $2525 = 25 \cdot 101$.

Разложим 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Проверим, является ли число 101 простым. $\sqrt{101} \approx 10.05$. Проверяем простые делители до 10 (2, 3, 5, 7).

101 не делится на 2, 3, 5. Проверим 7: $101 : 7 = 14$ (остаток 3).

Число 101 является простым.

Следовательно, разложение числа 2525: $2525 = 25 \cdot 101 = 5^2 \cdot 101$.

Ответ: $2525 = 5^2 \cdot 101$.