Номер 661, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

661. a) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая своё мнение, он приводит примеры:

$3=2+1, 2 \cdot 1=2$ — простое число,

$5=3+1+1, 3 \cdot 1 \cdot 1=3$ — простое число и т. п. Приведите контрпример, показывающий, что Вася не прав.

б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?

а)

Утверждение Васи заключается в том, что любое простое число $P$ можно представить в виде суммы натуральных чисел $P = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, произведение которых $Q = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ также является простым числом.

Рассмотрим, каким должно быть произведение $Q$, чтобы оно являлось простым числом. Простое число по определению имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Если бы в произведении $Q = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ было хотя бы два множителя, больших единицы (например, $n_i > 1$ и $n_j > 1$), то число $Q$ было бы составным, так как оно делилось бы не только на 1 и $Q$, но и на $n_i$ и $n_j$. Следовательно, для того чтобы произведение было простым, все множители, кроме одного, должны быть равны 1. Тот единственный множитель, который не равен 1, сам должен быть простым числом. Обозначим это простое число через $q$.

Таким образом, набор слагаемых $\{n_1, n_2, \dots, n_k\}$ должен состоять из одного простого числа $q$ и некоторого количества единиц (пусть их будет $m$ штук). Тогда сумма этих чисел будет равна $P$, а их произведение — $q$.

Сумма: $P = q + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{m \text{ раз}} = q + m$.
Произведение: $Q = q \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{m \text{ раз}} = q$.

Примеры, которые приводит Вася ($3=2+1$, $5=3+1+1$), а также формулировка "в виде суммы натуральных чисел" (во множественном числе) позволяют предположить, что слагаемых должно быть как минимум два. Это означает, что число единиц $m$ должно быть не меньше 1 ($m \geq 1$).

Из равенства $P = q + m$ следует, что $m = P - q$. Условие $m \geq 1$ эквивалентно условию $P - q \geq 1$, или $P > q$.

Таким образом, утверждение Васи можно переформулировать так: для любого простого числа $P$ существует другое простое число $q$, которое строго меньше $P$.

Это утверждение справедливо для всех простых чисел, кроме наименьшего. Наименьшее простое число — это 2. Для $P=2$ не существует простого числа $q$, которое было бы меньше 2. Значит, для $P=2$ утверждение Васи неверно.

Проверим это напрямую. Единственный способ представить число 2 в виде суммы двух или более натуральных чисел — это $2 = 1 + 1$. Произведение этих слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$. Число 1 не является простым. Следовательно, число 2 является контрпримером.

Ответ: Контрпримером является простое число 2. Его можно представить в виде суммы натуральных чисел только как $2=1+1$. Произведение этих слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$, а 1 не является простым числом.

б)

Из разбора в пункте а) следует, что утверждение Васи не выполняется только для одного простого числа — 2. Для всех остальных простых чисел $P$ ($3, 5, 7, \dots$) утверждение верно, так как для любого простого $P>2$ всегда существует меньшее простое число (например, 2).

Чтобы утверждение стало верным, необходимо исключить тот единственный случай, для которого оно не работает. Следовательно, нужно уточнить, что речь идет о простых числах, больших двух.

Исправленное верное утверждение:

«Любое простое число, большее 2, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом».

Докажем это утверждение. Пусть $P$ — любое простое число, большее 2. Такое число обязательно является нечетным. Мы можем выбрать в качестве простого числа $q$ из нашего рассуждения число 2. Тогда количество единиц $m$ будет равно $P-2$. Поскольку $P \geq 3$, то $m=P-2 \geq 1$.

Таким образом, любое простое число $P > 2$ можно представить в виде суммы:

$P = 2 + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{P-2 \text{ слагаемых}}$

Сумма этих чисел действительно равна $2 + (P-2) = P$. Произведение этих чисел равно:

$2 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{P-2 \text{ множителей}} = 2$.

Число 2 является простым, поэтому такое представление удовлетворяет условию задачи. Например, для $P=11$ имеем $11 = 2+1+1+1+1+1+1+1+1+1$. Сумма равна 11, а произведение слагаемых равно 2, что является простым числом.

Ответ: Утверждение нужно исправить так: «Любое простое число, большее двух, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом».