Страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

697. Какой наименьшей длины может быть верёвка, чтобы её можно было разрезать без остатков на куски:

а) как по $4$ м, так и по $5$ м;

б) как по $4$ м, так и по $6$ м?

Чтобы верёвку можно было разрезать без остатков на куски определённой длины, её общая длина должна делиться нацело на длину каждого куска. Иными словами, общая длина верёвки должна быть общим кратным для длин этих кусков. Поскольку в задаче спрашивается о наименьшей длине, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) указанных длин.

а) как по 4 м, так и по 5 м;

Найдём наименьшее общее кратное чисел 4 и 5.

Разложим числа 4 и 5 на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$ (5 — простое число)

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

$НОК(4, 5) = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.

Следовательно, наименьшая длина верёвки, которую можно разрезать без остатка на куски по 4 м и 5 м, составляет 20 метров.

Ответ: 20 м.

б) как по 4 м, так и по 6 м?

Найдём наименьшее общее кратное чисел 4 и 6.

Разложим числа 4 и 6 на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Берём каждый простой множитель (2 и 3) в наибольшей степени ($2^2$ и $3^1$) и перемножаем их.

$НОК(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Следовательно, наименьшая длина верёвки, которую можно разрезать без остатка на куски по 4 м и 6 м, составляет 12 метров.

Ответ: 12 м.

698. Мальчик хочет купить несколько пачек мороженого по 8 р., но у него только 5-рублёвые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить?

Пусть $n$ — искомое наименьшее число пачек мороженого, которое может купить мальчик, а $m$ — количество 5-рублёвых монет, которые он использует для оплаты.

Стоимость одной пачки мороженого составляет 8 рублей. Следовательно, общая стоимость $n$ пачек мороженого будет равна $8 \times n$ рублей.

Мальчик может расплачиваться только 5-рублёвыми монетами, поэтому общая сумма, которую он платит, равна $5 \times m$ рублей.

Поскольку у продавца нет сдачи, общая стоимость покупки должна быть в точности равна сумме, которую мальчик заплатит. Это можно выразить уравнением:
$8 \times n = 5 \times m$

Из этого уравнения следует, что общая стоимость покупки должна быть кратна как 8, так и 5. Чтобы найти наименьшее число пачек $n$, нам нужно найти наименьшую возможную общую стоимость. Эта стоимость будет равна наименьшему общему кратному (НОК) чисел 8 и 5.

Поскольку числа 8 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению:
$НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40$

Итак, наименьшая возможная общая стоимость покупки составляет 40 рублей.

Теперь найдём, какому количеству пачек мороженого соответствует эта стоимость. Для этого разделим общую стоимость на цену одной пачки:
$n = 40 \div 8 = 5$

Таким образом, наименьшее число пачек мороженого, которое может купить мальчик, — это 5. При этом ему потребуется заплатить $40 \div 5 = 8$ пятирублёвых монет.

Ответ: 5.

699. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая — 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?

Для того чтобы помеченные зубцы шестерёнок снова соприкоснулись, каждая из них должна провернуться на такое количество зубцов, которое будет кратно как числу зубцов на первой шестерёнке, так и числу зубцов на второй. Поскольку нас просят найти наименьшее число оборотов, нам необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 28.

1. Найдём Наименьшее Общее Кратное (НОК) чисел 16 и 28. Для этого разложим их на простые множители:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

$НОК(16, 28) = 2^4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$.

Это означает, что помеченные зубцы снова сойдутся после того, как через точку сцепления пройдёт 112 зубцов.

2. Теперь рассчитаем, сколько полных оборотов сделает каждая шестерёнка за это время.

Количество оборотов первой шестерёнки (с 16 зубцами):

$112 \div 16 = 7$ оборотов.

Количество оборотов второй шестерёнки (с 28 зубцами):

$112 \div 28 = 4$ оборота.

Ответ: первая шестерёнка должна сделать 7 оборотов, а вторая — 4 оборота.