Страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

599. Напишите три числа, которые можно записать в виде:

а) $2k$;

б) $5k$;

в) $20k$;

г) $7k$,

где $k$ — натуральное число.

а) По условию, $k$ — натуральное число, то есть $k$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$ и так далее. Чтобы найти три числа, которые можно записать в виде $2k$, нужно подставить вместо $k$ любые три натуральных числа. Возьмем самые простые значения: $k=1$, $k=2$ и $k=3$.
При $k=1$: $2 \cdot 1 = 2$.
При $k=2$: $2 \cdot 2 = 4$.
При $k=3$: $2 \cdot 3 = 6$.
Таким образом, мы получили три числа, которые делятся на 2 (четные числа).
Ответ: 2, 4, 6.

б) Аналогично, для выражения $5k$ найдем три числа, подставляя натуральные значения $k$. Возьмем $k=1$, $k=2$ и $k=3$.
При $k=1$: $5 \cdot 1 = 5$.
При $k=2$: $5 \cdot 2 = 10$.
При $k=3$: $5 \cdot 3 = 15$.
Это числа, которые кратны 5.
Ответ: 5, 10, 15.

в) Для выражения $20k$ выберем для $k$ натуральные числа $1, 2, 3$.
При $k=1$: $20 \cdot 1 = 20$.
При $k=2$: $20 \cdot 2 = 40$.
При $k=3$: $20 \cdot 3 = 60$.
Это числа, которые кратны 20.
Ответ: 20, 40, 60.

г) Для выражения $7k$ подставим те же натуральные числа $k=1$, $k=2$ и $k=3$.
При $k=1$: $7 \cdot 1 = 7$.
При $k=2$: $7 \cdot 2 = 14$.
При $k=3$: $7 \cdot 3 = 21$.
Это числа, которые кратны 7.
Ответ: 7, 14, 21.

600. Верно ли утверждение:

а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;

б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;

в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

Для проверки данных утверждений воспользуемся свойствами делимости чисел.

а)

Утверждение: если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2.

Пусть у нас есть два слагаемых, $a$ и $b$. По условию, каждое из них делится на 2. Это означает, что их можно представить в виде:

$a = 2 \cdot k$

$b = 2 \cdot m$

где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Найдем их сумму:

$a + b = 2 \cdot k + 2 \cdot m$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2 \cdot (k + m)$

Так как $k + m$ является целым числом, то полученная сумма представляет собой произведение числа 2 и целого числа, а значит, она делится на 2. Следовательно, утверждение верно.

Пример: 6 и 10 делятся на 2. Их сумма $6 + 10 = 16$, и 16 тоже делится на 2.

Ответ: да, утверждение верно.

б)

Утверждение: если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5.

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Пусть слагаемые $a$ и $b$ делятся на 5. Тогда:

$a = 5 \cdot k$

$b = 5 \cdot m$

где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Их сумма равна:

$a + b = 5 \cdot k + 5 \cdot m = 5 \cdot (k + m)$

Поскольку результат является произведением числа 5 и целого числа $(k + m)$, он делится на 5. Утверждение верно.

Пример: 15 и 20 делятся на 5. Их сумма $15 + 20 = 35$, и 35 тоже делится на 5.

Ответ: да, утверждение верно.

в)

Утверждение: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3.

Пусть уменьшаемое – это $a$, а вычитаемое – $b$. По условию, оба числа делятся на 3. Значит:

$a = 3 \cdot k$

$b = 3 \cdot m$

где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Найдем их разность:

$a - b = 3 \cdot k - 3 \cdot m$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$a - b = 3 \cdot (k - m)$

Так как разность целых чисел $k - m$ тоже является целым числом, то полученная разность $a - b$ делится на 3. Утверждение верно.

Пример: 21 и 9 делятся на 3. Их разность $21 - 9 = 12$, и 12 тоже делится на 3.

Ответ: да, утверждение верно.

601. Объясните, почему:

a) сумма $45 + 36$ делится на $9$;

б) сумма $99 + 88$ делится на $11$;

в) сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на $13$, где $a$ и $c$ — натуральные числа;

г) сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на $3$, где $a, b$ и $c$ — натуральные числа.

а) Данная сумма делится на 9, потому что каждое из слагаемых этой суммы делится на 9. Это свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Проверим каждое слагаемое:
$45$ делится на $9$, так как $45 = 9 \cdot 5$.
$36$ делится на $9$, так как $36 = 9 \cdot 4$.
Так как оба слагаемых делятся на 9, то и их сумма делится на 9. Можно также вынести общий множитель 9 за скобки:
$45 + 36 = 9 \cdot 5 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot (5 + 4) = 9 \cdot 9 = 81$.
Поскольку выражение представлено в виде произведения, где один из множителей равен 9, оно делится на 9.
Ответ: Сумма $45+36$ делится на 9, так как каждое слагаемое (45 и 36) делится на 9.

б) Сумма делится на 11, так как оба слагаемых, 99 и 88, делятся на 11.
Проверим:
$99 \div 11 = 9$.
$88 \div 11 = 8$.
Согласно свойству делимости суммы, если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число.
Вынесем общий множитель 11 за скобки:
$99 + 88 = 11 \cdot 9 + 11 \cdot 8 = 11 \cdot (9 + 8) = 11 \cdot 17 = 187$.
Так как 11 является множителем в полученном произведении, вся сумма делится на 11.
Ответ: Сумма $99+88$ делится на 11, потому что каждое слагаемое (99 и 88) делится на 11.

в) Эта сумма делится на 13, потому что каждое слагаемое содержит множитель 13.
Первое слагаемое $13 \cdot a$ делится на 13.
Второе слагаемое $13 \cdot c$ делится на 13.
Используя распределительное свойство умножения, можно вынести общий множитель 13 за скобки:
$13 \cdot a + 13 \cdot c = 13 \cdot (a + c)$.
Поскольку $a$ и $c$ — натуральные числа, их сумма $(a + c)$ также является натуральным числом. Выражение $13 \cdot (a + c)$ представляет собой произведение, где один из множителей — 13. Следовательно, оно делится на 13 без остатка.
Ответ: Сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на 13, так как после вынесения общего множителя 13 за скобки получается выражение $13 \cdot (a + c)$, которое очевидно кратно 13.

г) Сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, потому что каждое из трех слагаемых делится на 3.
Проверим каждое слагаемое:
Первое слагаемое $12 \cdot a$ делится на 3, так как множитель 12 делится на 3 ($12 = 3 \cdot 4$).
Второе слагаемое $15 \cdot b$ делится на 3, так как множитель 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$).
Третье слагаемое $9 \cdot c$ делится на 3, так как множитель 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Поскольку все слагаемые делятся на 3, то и вся сумма делится на 3.
Можно вынести общий множитель 3 за скобки для всей суммы:
$12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c = (3 \cdot 4) \cdot a + (3 \cdot 5) \cdot b + (3 \cdot 3) \cdot c = 3 \cdot (4 \cdot a + 5 \cdot b + 3 \cdot c)$.
Так как сумма представлена в виде произведения, где один из множителей равен 3, она делится на 3.
Ответ: Сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, так как каждое из ее слагаемых ($12a$, $15b$ и $9c$) делится на 3.

602. Докажите, что если $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа, то:

а) $(3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3 = a + b$;

б) $(c \cdot a + c \cdot b) : c = a + b$.

Для доказательства данных равенств воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Это свойство гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ выполняется равенство: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В нашем случае мы будем применять его в обратном порядке, вынося общий множитель за скобки: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

а) Рассмотрим левую часть равенства $(3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3$. В выражении, стоящем в скобках, $3 \cdot a + 3 \cdot b$, оба слагаемых имеют общий множитель 3. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство: $3 \cdot a + 3 \cdot b = 3 \cdot (a + b)$. Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства: $(3 \cdot (a + b)) : 3$. При делении произведения на число, можно разделить один из множителей на это число. Разделим 3 на 3: $(3 : 3) \cdot (a + b) = 1 \cdot (a + b) = a + b$. Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство $(3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3 = a + b$ верно, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим левую часть равенства $(c \cdot a + c \cdot b) : c$. По условию $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа. Это значит, что $c \ne 0$, поэтому деление на $c$ возможно. В выражении $c \cdot a + c \cdot b$ общий множитель — это $c$. Вынесем его за скобки на основании распределительного свойства: $c \cdot a + c \cdot b = c \cdot (a + b)$. Подставим это выражение в левую часть исходного равенства: $(c \cdot (a + b)) : c$. Разделим полученное произведение на $c$: $(c : c) \cdot (a + b) = 1 \cdot (a + b) = a + b$. Результат совпадает с правой частью равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство $(c \cdot a + c \cdot b) : c = a + b$ верно, что и требовалось доказать.

603. Вычислите:

а) $(48 + 36) \div 2 = 48 \div 2 + 36 \div 2 = ...$

б) $(16 + 20) \div 4;$

в) $(50 + 120) \div 5;$

г) $(484 + 426) \div 2;$

д) $(840 - 488) \div 4;$

е) $(963 - 690) \div 3;$

ж) $(990 + 99) \div 9.$

а) Завершим вычисление, показанное в примере, используя распределительное свойство деления относительно сложения:
$(48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = 24 + 18 = 42$.
Ответ: 42

б) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством деления относительно сложения, которое гласит, что для того чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить: $(a+b):c = a:c + b:c$.
$(16 + 20) : 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9$.
Проверка: $(16 + 20) : 4 = 36 : 4 = 9$.
Ответ: 9

в) Применим тот же метод: разделим каждое слагаемое в скобках на 5 и сложим результаты.
$(50 + 120) : 5 = 50 : 5 + 120 : 5 = 10 + 24 = 34$.
Проверка: $(50 + 120) : 5 = 170 : 5 = 34$.
Ответ: 34

г) Разделим каждое слагаемое на 2, а затем сложим полученные частные.
$(484 + 426) : 2 = 484 : 2 + 426 : 2 = 242 + 213 = 455$.
Проверка: $(484 + 426) : 2 = 910 : 2 = 455$.
Ответ: 455

д) Для деления разности на число можно применить распределительное свойство деления относительно вычитания: $(a-b):c = a:c - b:c$. Разделим на 4 уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого частного вычтем второе.
$(840 - 488) : 4 = 840 : 4 - 488 : 4 = 210 - 122 = 88$.
Проверка: $(840 - 488) : 4 = 352 : 4 = 88$.
Ответ: 88

е) Используем распределительное свойство деления относительно вычитания.
$(963 - 690) : 3 = 963 : 3 - 690 : 3 = 321 - 230 = 91$.
Проверка: $(963 - 690) : 3 = 273 : 3 = 91$.
Ответ: 91

ж) Снова используем распределительное свойство деления относительно сложения.
$(990 + 99) : 9 = 990 : 9 + 99 : 9 = 110 + 11 = 121$.
Проверка: $(990 + 99) : 9 = 1089 : 9 = 121$.
Ответ: 121

604. Проверьте, делится ли:

а) $1356$ на $2$;

б) $4957$ на $2$;

в) $8151$ на $3$;

г) $7361$ на $3$;

д) $7263$ на $2$;

е) $9751$ на $2$.

а) Чтобы проверить, делится ли число 1356 на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру. Согласно признаку делимости на 2, число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8). В числе 1356 последняя цифра – 6. Так как 6 является чётным числом, то 1356 делится на 2. Проверка: $1356 : 2 = 678$.

Ответ: да, делится.

б) Проверим, делится ли число 4957 на 2. Последняя цифра этого числа – 7. Цифра 7 является нечётной. Следовательно, число 4957 не делится на 2 без остатка.

Ответ: нет, не делится.

в) Чтобы проверить, делится ли число 8151 на 3, воспользуемся признаком делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму цифр числа 8151: $8 + 1 + 5 + 1 = 15$. Число 15 делится на 3, так как $15 : 3 = 5$. Поскольку сумма цифр делится на 3, то и само число 8151 делится на 3.

Ответ: да, делится.

г) Проверим, делится ли число 7361 на 3. Для этого найдём сумму его цифр: $7 + 3 + 6 + 1 = 17$. Число 17 не делится на 3 без остатка ($17 = 3 \cdot 5 + 2$). Так как сумма цифр не делится на 3, то и число 7361 не делится на 3.

Ответ: нет, не делится.

д) Проверим, делится ли число 7263 на 2. Последняя цифра числа – 3. Это нечётная цифра. Согласно признаку делимости на 2, число 7263 не делится на 2.

Ответ: нет, не делится.

е) Проверим, делится ли число 9751 на 2. Последняя цифра этого числа – 1. Это нечётная цифра. Следовательно, число 9751 не делится на 2.

Ответ: нет, не делится.

605. Проверьте, делится ли число 123 456 789:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 9.

а) на 2;
Для того чтобы проверить, делится ли число на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру. Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6, 8).
В числе 123 456 789 последняя цифра — 9. Поскольку 9 является нечетным числом, то и все число не делится на 2.
Ответ: не делится.

б) на 3;
Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 123 456 789:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$
Теперь необходимо проверить, делится ли полученная сумма (45) на 3:
$45 : 3 = 15$
Сумма цифр делится на 3 без остатка, следовательно, и число 123 456 789 делится на 3.
Ответ: делится.

в) на 9.
Признак делимости на 9 похож на признак делимости на 3: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Мы уже вычислили сумму цифр для числа 123 456 789, она равна 45.
Проверим, делится ли сумма 45 на 9:
$45 : 9 = 5$
Поскольку сумма цифр делится на 9 без остатка, то и само число 123 456 789 делится на 9.
Ответ: делится.