Номер 601, страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

601. Объясните, почему:

a) сумма $45 + 36$ делится на $9$;

б) сумма $99 + 88$ делится на $11$;

в) сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на $13$, где $a$ и $c$ — натуральные числа;

г) сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на $3$, где $a, b$ и $c$ — натуральные числа.

а) Данная сумма делится на 9, потому что каждое из слагаемых этой суммы делится на 9. Это свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Проверим каждое слагаемое:
$45$ делится на $9$, так как $45 = 9 \cdot 5$.
$36$ делится на $9$, так как $36 = 9 \cdot 4$.
Так как оба слагаемых делятся на 9, то и их сумма делится на 9. Можно также вынести общий множитель 9 за скобки:
$45 + 36 = 9 \cdot 5 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot (5 + 4) = 9 \cdot 9 = 81$.
Поскольку выражение представлено в виде произведения, где один из множителей равен 9, оно делится на 9.
Ответ: Сумма $45+36$ делится на 9, так как каждое слагаемое (45 и 36) делится на 9.

б) Сумма делится на 11, так как оба слагаемых, 99 и 88, делятся на 11.
Проверим:
$99 \div 11 = 9$.
$88 \div 11 = 8$.
Согласно свойству делимости суммы, если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число.
Вынесем общий множитель 11 за скобки:
$99 + 88 = 11 \cdot 9 + 11 \cdot 8 = 11 \cdot (9 + 8) = 11 \cdot 17 = 187$.
Так как 11 является множителем в полученном произведении, вся сумма делится на 11.
Ответ: Сумма $99+88$ делится на 11, потому что каждое слагаемое (99 и 88) делится на 11.

в) Эта сумма делится на 13, потому что каждое слагаемое содержит множитель 13.
Первое слагаемое $13 \cdot a$ делится на 13.
Второе слагаемое $13 \cdot c$ делится на 13.
Используя распределительное свойство умножения, можно вынести общий множитель 13 за скобки:
$13 \cdot a + 13 \cdot c = 13 \cdot (a + c)$.
Поскольку $a$ и $c$ — натуральные числа, их сумма $(a + c)$ также является натуральным числом. Выражение $13 \cdot (a + c)$ представляет собой произведение, где один из множителей — 13. Следовательно, оно делится на 13 без остатка.
Ответ: Сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на 13, так как после вынесения общего множителя 13 за скобки получается выражение $13 \cdot (a + c)$, которое очевидно кратно 13.

г) Сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, потому что каждое из трех слагаемых делится на 3.
Проверим каждое слагаемое:
Первое слагаемое $12 \cdot a$ делится на 3, так как множитель 12 делится на 3 ($12 = 3 \cdot 4$).
Второе слагаемое $15 \cdot b$ делится на 3, так как множитель 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$).
Третье слагаемое $9 \cdot c$ делится на 3, так как множитель 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Поскольку все слагаемые делятся на 3, то и вся сумма делится на 3.
Можно вынести общий множитель 3 за скобки для всей суммы:
$12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c = (3 \cdot 4) \cdot a + (3 \cdot 5) \cdot b + (3 \cdot 3) \cdot c = 3 \cdot (4 \cdot a + 5 \cdot b + 3 \cdot c)$.
Так как сумма представлена в виде произведения, где один из множителей равен 3, она делится на 3.
Ответ: Сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, так как каждое из ее слагаемых ($12a$, $15b$ и $9c$) делится на 3.