Страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

590. Фигуры пентамино1 можно получить из фигур тетрамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур пентамино можно составить?

Для решения этой задачи необходимо найти все уникальные фигуры, состоящие из пяти квадратов (пентамино), путем добавления одного квадрата к фигурам из четырех квадратов (тетрамино). Уникальными считаются фигуры, которые нельзя совместить путем поворотов и зеркальных отражений.

Сначала перечислим все 5 уникальных фигур тетрамино:

1. I-тетрамино (прямая линия из 4 квадратов)
2. O-тетрамино (квадрат 2x2)
3. T-тетрамино
4. L-тетрамино
5. S-тетрамино

Теперь будем последовательно добавлять к каждой из этих фигур один квадрат всеми возможными способами, отслеживая появление новых уникальных фигур пентамино.

Из прямой фигуры 1x4 можно получить 3 различные фигуры пентамино:

• Присоединяя квадрат к торцу, получаем I-пентамино.
• Присоединяя квадрат сбоку к одному из центральных квадратов, получаем P-пентамино.
• Присоединяя квадрат сбоку к одному из крайних квадратов, получаем L-пентамино.

Найдено 3 уникальные фигуры: I, P, L.

Квадрат 2x2 — полностью симметричная фигура. Присоединение квадрата к любой из его сторон приводит к образованию одной и той же фигуры — P-пентамино, которая уже была найдена.

Новых фигур не найдено. Всего уникальных: 3.

Из этой фигуры можно получить 4 различные фигуры:

• Присоединяя квадрат к центральному квадрату (в "углубление"), получаем X-пентамино.
• Присоединяя квадрат к "ножке" снизу, получаем T-пентамино.
• Присоединяя квадрат к "ножке" сбоку, получаем U-пентамино.
• Присоединяя квадрат к одному из крайних квадратов "перекладины", получаем P-пентамино (уже найдено).

Найдено 3 новые фигуры: X, T, U. Всего уникальных: 3 + 3 = 6.

Эта асимметричная фигура дает наибольшее количество новых вариантов:

• Присоединяя квадрат к центральному квадрату длинной части сверху, получаем F-пентамино.
• Присоединяя квадрат к центральному квадрату длинной части снизу, получаем V-пентамино.
• Присоединяя квадрат рядом с "углом" фигуры, получаем W-пентамино.
• Присоединяя квадрат к крайнему квадрату длинной части (дальнему от "ножки"), получаем Y-пентамино.
• Еще один способ добавления приводит к появлению N-пентамино.
• Остальные варианты приводят к уже найденным фигурам: I, P, L, U.

Найдено 5 новых фигур: F, V, W, Y, N. Всего уникальных: 6 + 5 = 11.

Из этой фигуры можно получить последнюю, 12-ю фигуру пентамино:

• Один из способов присоединения квадрата дает Z-пентамино.
• Остальные варианты присоединения дают уже известные нам фигуры: L, P, Y, N, F.

Найдена 1 новая фигура: Z. Всего уникальных: 11 + 1 = 12.

Таким образом, перебрав все возможные способы добавления одного квадрата ко всем фигурам тетрамино, мы получили 12 уникальных фигур пентамино. Их принято обозначать латинскими буквами, форму которых они напоминают: F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z.

Ответ: Можно составить 12 фигур пентамино.

591. Фигуры гексамино2 можно получить из фигур пентамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур гексамино можно составить?

Задача состоит в том, чтобы определить количество уникальных фигур гексамино. Гексамино — это полимино, состоящее из шести соединённых по сторонам квадратов. В условии предлагается получать их из фигур пентамино (состоящих из пяти квадратов), добавляя к каждой из них ещё один квадрат всеми возможными способами.

Всего существует 12 уникальных фигур пентамино (их принято обозначать латинскими буквами F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z).

Метод решения заключается в следующем:

1. Взять каждую из 12 фигур пентамино.
2. Рассмотреть все возможные места, куда можно приставить дополнительный квадрат (т.е. ко всем свободным сторонам квадратов, образующих фигуру).
3. Сгенерировать все получившиеся фигуры гексамино.
4. Исключить все дубликаты. Две фигуры считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой поворотом или зеркальным отражением.

Этот процесс достаточно трудоёмкий из-за большого количества вариантов и возникающих дубликатов. Продемонстрируем его на нескольких примерах.

Генерация из пентамино I

Пентамино I имеет форму прямой линии из пяти квадратов.

□ □ □ □ □

У этой фигуры есть две оси симметрии. Новый квадрат можно присоединить либо к торцу, либо к боковой стороне. С учётом симметрии, есть 4 уникальных способа присоединения:

1. К торцу фигуры. Получается прямая линия из 6 квадратов.

   □ □ □ □ □ □

2. К боковой стороне крайнего квадрата.

   □ □ □ □ □
   □

3. К боковой стороне второго с краю квадрата.

   □ □ □ □ □
   □

4. К боковой стороне центрального квадрата.

□ □ □ □ □
□

Таким образом, из пентамино I можно получить 4 различные фигуры гексамино.

Проблема дубликатов

Основная сложность в подсчёте — это учёт повторяющихся фигур. Дубликаты возникают по двум причинам:

• Симметрия внутри одного пентамино: присоединение квадрата к разным, но симметричным сторонам пентамино, может дать одну и ту же фигуру гексамино.
• Разные "родительские" пентамино: одну и ту же фигуру гексамино можно получить из разных фигур пентамино. Например, гексамино в форме прямоугольника $2 \times 3$ можно получить и из U-пентамино, и из P-пентамино.

Пример получения прямоугольника $2 \times 3$ из U-пентамино:

□ □ □ □ □
□ □ □ + ■ → □ □ □

Пример получения того же прямоугольника из P-пентамино:

□ □ □ □ □
□ □ + ■ → □ □ □
□

Итоговый подсчет

Полный перебор всех вариантов и аккуратное исключение всех дубликатов является сложной комбинаторной задачей. Если последовательно применить описанный метод ко всем 12 фигурам пентамино, сгенерировать все возможные гексамино и удалить все повторяющиеся фигуры (с учётом поворотов и отражений), то в результате получится 35 уникальных фигур.

Ответ: Можно составить 35 фигур гексамино.

592. Подсчитайте, сколько различных развёрток имеет куб. Для решения этой задачи можно рассмотреть фигуры гексамино (см. задачу 591).

Развёртка куба — это плоская фигура, состоящая из шести квадратов (граней куба), соединённых сторонами таким образом, что из неё можно сложить (свернуть) модель куба. Каждая развёртка куба является частным случаем фигуры, называемой гексамино.

Гексамино — это полимино, состоящее из шести квадратов. Всего существует 35 различных видов гексамино. Чтобы найти количество развёрток куба, необходимо определить, какие из этих 35 фигур можно свернуть в куб.

Проверить это можно, представив одну из граней в качестве основания, а затем мысленно «поднимая» остальные грани, чтобы сформировать боковые стенки и крышку. Фигура является развёрткой, если при сворачивании ни одна из граней не накладывается на другую и в итоге получается замкнутая поверхность куба.

В результате перебора всех 35 гексамино оказывается, что только 11 из них удовлетворяют условию и являются развёртками куба. Их принято классифицировать по длине максимальной цепочки из квадратов, расположенных в один ряд.

1. Развёртки, у которых в самом длинном ряду 4 квадрата (6 видов):

1. ██ ████2. ██ ████3. ██ ████4. ██ ████5. ██ ██ ██6. ████ ██ ██

2. Развёртки, у которых в самом длинном ряду 3 квадрата (4 вида):

7. ██ ███ ██8. ███ ███9. ██ ███ ██10. ██ ███ ██

3. Развёртки, у которых в самом длинном ряду 2 квадрата (1 вид):

11. ██ ██ ██

Таким образом, подсчёт всех возможных вариантов даёт 11 различных развёрток.

Ответ: 11.

593. Пол в классе имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м. Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз, то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса?

Для того чтобы узнать, во сколько раз площадь класса на плане будет меньше настоящей площади, необходимо найти обе площади и сравнить их.

Сначала вычислим настоящую площадь пола класса. Так как пол имеет форму прямоугольника, его площадь ($S_{наст}$) равна произведению длины на ширину.

$S_{наст} = 5 \, \text{м} \times 6 \, \text{м} = 30 \, \text{м}^2$.

Теперь найдем размеры сторон класса на плане. Согласно условию, они уменьшены в 10 раз по сравнению с настоящими размерами.

Длина на плане: $a_{план} = 6 \, \text{м} / 10 = 0,6 \, \text{м}$.

Ширина на плане: $b_{план} = 5 \, \text{м} / 10 = 0,5 \, \text{м}$.

Далее вычислим площадь класса на плане ($S_{план}$), используя новые размеры.

$S_{план} = 0,6 \, \text{м} \times 0,5 \, \text{м} = 0,3 \, \text{м}^2$.

Наконец, чтобы найти, во сколько раз площадь на плане меньше настоящей, разделим настоящую площадь на площадь на плане.

$\frac{S_{наст}}{S_{план}} = \frac{30 \, \text{м}^2}{0,3 \, \text{м}^2} = 100$.

Можно также применить общее правило: при уменьшении линейных размеров фигуры в $k$ раз, ее площадь уменьшается в $k^2$ раз. В данной задаче стороны уменьшаются в 10 раз, следовательно, площадь уменьшится в $10^2 = 10 \times 10 = 100$ раз.

Ответ: в 100 раз.