Страница 128 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

570. а) Что называют многоугольником?

б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?

в) Что называют периметром многоугольника?

г) Какой многоугольник называют выпуклым?

д) Какие многоугольники называют равными?

а) Что называют многоугольником?

Многоугольником называют геометрическую фигуру на плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией. Эта фигура состоит из вершин (точек $A_1, A_2, ..., A_n$) и соединяющих их отрезков — сторон ($A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$). Важными условиями являются то, что никакие две соседние стороны не лежат на одной прямой, а несоседние стороны не пересекаются.

Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией без самопересечений.

б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?

Вершины многоугольника — это точки, являющиеся концами звеньев ломаной линии, которая образует многоугольник. В многоугольнике $A_1A_2...A_n$ точки $A_1, A_2, ..., A_n$ являются его вершинами.
Стороны многоугольника — это отрезки (звенья ломаной), соединяющие соседние вершины. В многоугольнике $A_1A_2...A_n$ отрезки $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ являются его сторонами.
Углы многоугольника — это внутренние углы, образованные двумя соседними сторонами, выходящими из одной вершины. Например, угол при вершине $A_2$ — это угол $\angle A_1A_2A_3$.

Ответ: Вершины — точки соединения сторон; стороны — отрезки, образующие границу многоугольника; углы — углы между соседними сторонами в вершинах.

в) Что называют периметром многоугольника?

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Если длины сторон $n$-угольника равны $a_1, a_2, ..., a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = a_1 + a_2 + ... + a_n$.

Ответ: Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

г) Какой многоугольник называют выпуклым?

Многоугольник называют выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей любую из его сторон. Эквивалентное определение: многоугольник выпуклый, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью принадлежит этому многоугольнику. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$.

Ответ: Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который расположен по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

д) Какие многоугольники называют равными?

Два многоугольника называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом путем наложения (движения). У равных многоугольников одинаковое число сторон, а также равны их соответствующие стороны и соответствующие углы. То есть, если многоугольник $A_1A_2...A_n$ равен многоугольнику $B_1B_2...B_n$, то $A_1A_2 = B_1B_2$, ..., $A_nA_1 = B_nA_1$ и $\angle A_1 = \angle B_1$, ..., $\angle A_n = \angle B_n$.

Ответ: Равные многоугольники — это многоугольники, которые можно совместить наложением, то есть у них равны соответствующие стороны и углы.

571. Постройте пятиугольник $ABCDE$. Назовите все его стороны и вершины.

Пятиугольник – это многоугольник, у которого 5 вершин и 5 сторон. Для того чтобы построить пятиугольник $ABCDE$, нужно отметить на плоскости пять точек: $A, B, C, D, E$ (вершины). Затем их нужно последовательно соединить отрезками: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $E$ и $E$ с $A$ (стороны). Пример такого пятиугольника изображен ниже.

Вершины

Вершинами пятиугольника $ABCDE$ являются точки, которыми он обозначен. Перечислим все вершины: $A, B, C, D, E$.

Стороны

Сторонами пятиугольника $ABCDE$ являются отрезки, соединяющие его соседние вершины. Перечислим все стороны: $AB, BC, CD, DE, EA$.

Ответ: вершины пятиугольника $ABCDE$: $A, B, C, D, E$; стороны пятиугольника $ABCDE$: $AB, BC, CD, DE, EA$.

572. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезки $AC$ и $BD$ — диагонали (рис. 119). Сколько диагоналей в выпуклом:

а) четырёхугольнике;

б) пятиугольнике;

в) шестиугольнике;

г) семиугольнике?

Рис. 119

Для решения этой задачи выведем общую формулу для количества диагоналей в выпуклом n-угольнике.
Диагональ соединяет две несоседние вершины. В n-угольнике всего $n$ вершин. Из каждой вершины можно провести отрезок к $n-1$ другим вершинам. Из этих отрезков два являются сторонами многоугольника (соединяют вершину с двумя соседними), а остальные — диагоналями.
Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.
Поскольку вершин всего $n$, то общее число исходящих диагоналей будет $n \cdot (n-3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, отрезок AC) учитывается дважды: один раз как диагональ из вершины A, и второй раз — как диагональ из вершины C. Поэтому полученное произведение нужно разделить на 2.
Формула для числа диагоналей $D$ в выпуклом n-угольнике:$D = \frac{n(n-3)}{2}$
Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) четырёхугольнике
Для четырёхугольника число вершин $n=4$.
Подставим в формулу: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.
Ответ: 2

б) пятиугольнике
Для пятиугольника число вершин $n=5$.
Подставим в формулу: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: 5

в) шестиугольнике
Для шестиугольника число вершин $n=6$.
Подставим в формулу: $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
Ответ: 9

г) семиугольнике
Для семиугольника число вершин $n=7$.
Подставим в формулу: $D = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
Ответ: 14

573. Сколько диагоналей в выпуклом:
а) десятиугольнике;
б) двадцатиугольнике?

Для нахождения количества диагоналей в выпуклом многоугольнике используется специальная формула. Выведем её, чтобы понять принцип расчёта.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. В выпуклом многоугольнике с $n$ вершинами из каждой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам. Два из этих отрезков являются сторонами (они соединяют данную вершину с двумя соседними), а все остальные — диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины ($n-3$), мы получим $n(n-3)$. Однако при таком подходе каждая диагональ будет посчитана дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и диагональ из C в A — это один и тот же отрезок). Поэтому полученный результат нужно разделить на 2.

Итоговая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в выпуклом n-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь применим эту формулу для решения задачи.

а) десятиугольнике

В десятиугольнике количество вершин $n = 10$. Подставим это значение в нашу формулу:

$D = \frac{10 \times (10 - 3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

б) двадцатиугольнике

В двадцатиугольнике количество вершин $n = 20$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{20 \times (20 - 3)}{2} = \frac{20 \times 17}{2} = 10 \times 17 = 170$

Ответ: 170.

574. a) Исследуйте зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника ($n$). Результаты занесите в таблицу.

n: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

d: 1, 2, , , , , , ,

б) Задайте формулой зависимость $d$ от $n$.

а) Исследуем зависимость числа диагоналей ($d$), выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника, от числа его сторон ($n$).

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две любые не-соседние его вершины. В многоугольнике с $n$ сторонами имеется $n$ вершин. Если мы выберем одну вершину, то из нее нельзя провести диагональ к самой себе, а также к двум соседним вершинам (так как отрезки, соединяющие соседние вершины, являются сторонами многоугольника). Таким образом, из общего числа вершин $n$ мы должны исключить 3 (саму вершину и две соседние). Это означает, что из одной вершины можно провести $d = n - 3$ диагонали.

Проверим эту формулу на данных из таблицы: при $n=4$, $d=4-3=1$; при $n=5$, $d=5-3=2$. Значения совпадают. Теперь, используя формулу $d=n-3$, заполним остальные ячейки таблицы:

• При $n=6$: $d = 6 - 3 = 3$
• При $n=7$: $d = 7 - 3 = 4$
• При $n=8$: $d = 8 - 3 = 5$
• При $n=9$: $d = 9 - 3 = 6$
• При $n=10$: $d = 10 - 3 = 7$
• При $n=11$: $d = 11 - 3 = 8$
• При $n=12$: $d = 12 - 3 = 9$

Ответ:

б) Как было установлено в пункте а), количество диагоналей $d$, выходящих из одной вершины $n$-угольника, на 3 меньше, чем общее количество вершин $n$. Это связано с тем, что из любой вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум смежным с ней вершинам. Следовательно, зависимость $d$ от $n$ выражается формулой.

Ответ: $d = n - 3$

575. a) Исследуйте зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника от числа его сторон ($n$). Результаты занесите в таблицу.

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d 2 5

б) Задайте формулой зависимость $d$ от $n$.

а)

Чтобы исследовать зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника от числа его сторон ($n$), выведем общую формулу.Диагональ — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника.В многоугольнике с $n$ сторонами имеется $n$ вершин. Из каждой вершины можно провести диагональ ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних. То есть, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.Если мы умножим количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из одной вершины ($n-3$), мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ будет посчитана дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и диагональ из C в A).Следовательно, чтобы найти истинное число диагоналей, результат нужно разделить на 2.Формула для нахождения числа диагоналей: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Используя эту формулу, заполним таблицу:

• При $n=4$: $d = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ (соответствует таблице)
• При $n=5$: $d = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ (соответствует таблице)
• При $n=6$: $d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$
• При $n=7$: $d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$
• При $n=8$: $d = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$
• При $n=9$: $d = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$
• При $n=10$: $d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$
• При $n=11$: $d = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$
• При $n=12$: $d = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$

Ответ:

б)

Зависимость числа диагоналей $d$ от числа сторон $n$ выпуклого многоугольника, как было выведено в предыдущем пункте, задается следующей формулой.

Ответ: $d = \frac{n(n-3)}{2}$