Страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

542. Катер, имеющий собственную скорость $15 \text{ км/ч}$, проплыл $2 \text{ ч}$ по течению реки и $3 \text{ ч}$ против течения. Какое расстояние проплыл катер за всё время, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для нахождения общего расстояния, которое проплыл катер, необходимо выполнить следующие шаги: рассчитать расстояние, пройденное по течению, затем расстояние, пройденное против течения, и, наконец, сложить полученные значения.

1. Вычисление скорости и расстояния по течению реки.

Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки:

$15 \ км/ч + 2 \ км/ч = 17 \ км/ч$

Катер двигался по течению 2 часа. Чтобы найти пройденное расстояние, умножим скорость на время:

$17 \ км/ч \times 2 \ ч = 34 \ км$

2. Вычисление скорости и расстояния против течения реки.

Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения реки:

$15 \ км/ч - 2 \ км/ч = 13 \ км/ч$

Катер двигался против течения 3 часа. Найдем пройденное расстояние:

$13 \ км/ч \times 3 \ ч = 39 \ км$

3. Вычисление общего расстояния.

Чтобы найти общее расстояние, которое проплыл катер, сложим расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения:

$34 \ км + 39 \ км = 73 \ км$

Ответ: 73 км.

543. а) Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

а)

Для того чтобы найти общее время, которое моторная лодка потратит на путь туда и обратно, необходимо вычислить время движения по течению и против течения, а затем сложить полученные значения.

1. Сначала найдем скорость лодки при движении по течению. Она равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки:
$v_{по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 10 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

2. Теперь вычислим время, затраченное на путь по течению. Для этого разделим расстояние на скорость по течению:
$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{24 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$.

3. Далее найдем скорость лодки при движении против течения. Она равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против\;течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 10 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

4. Вычислим время, затраченное на обратный путь против течения:
$t_{против\;течения} = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{24 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$.

5. Чтобы найти общее время в пути, сложим время движения по течению и против течения:
$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ часов}$.

Ответ: 5 часов.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Нужно найти время движения катера по течению и против течения, а затем сложить их.

1. Найдем скорость катера по течению реки, сложив его собственную скорость и скорость течения:
$v_{по\;течению} = 15 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

2. Вычислим время движения катера по течению:
$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{36 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$.

3. Найдем скорость катера против течения реки, вычтя скорость течения из собственной скорости катера:
$v_{против\;течения} = 15 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

4. Вычислим время движения катера против течения:
$t_{против\;течения} = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{36 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$.

5. Найдем общее время, которое катер потратит на путь туда и обратно, сложив время движения в обе стороны:
$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ часов}$.

Ответ: 5 часов.

544. Определив скорости, заполните таблицу:

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами, связывающими собственную скорость объекта ($v_{собств.}$), скорость течения реки ($v_{течения}$), скорость по течению ($v_{по\ теч.}$) и скорость против течения ($v_{пр.\ теч.}$):
$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения}$
$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения}$
Из этих формул можно выразить остальные величины:
$v_{собств.} = (v_{по\ теч.} + v_{пр.\ теч.}) / 2$
$v_{течения} = (v_{по\ теч.} - v_{пр.\ теч.}) / 2$

1
Дано: $v_{собств.} = 12$ км/ч, $v_{течения} = 4$ км/ч.
Находим скорость по течению и против течения:
$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 12 + 4 = 16$ км/ч
$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 12 - 4 = 8$ км/ч
Ответ: $v_{по\ теч.} = 16$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 8$ км/ч.

2
Дано: $v_{собств.} = 25$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 28$ км/ч.
Находим скорость течения и скорость против течения:
$v_{течения} = v_{по\ теч.} - v_{собств.} = 28 - 25 = 3$ км/ч
$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 25 - 3 = 22$ км/ч
Ответ: $v_{течения} = 3$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 22$ км/ч.

3
Дано: $v_{собств.} = 24$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 20$ км/ч.
Находим скорость течения и скорость по течению:
$v_{течения} = v_{собств.} - v_{пр.\ теч.} = 24 - 20 = 4$ км/ч
$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 24 + 4 = 28$ км/ч
Ответ: $v_{течения} = 4$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 28$ км/ч.

4
Дано: $v_{течения} = 5$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 17$ км/ч.
Находим собственную скорость и скорость против течения:
$v_{собств.} = v_{по\ теч.} - v_{течения} = 17 - 5 = 12$ км/ч
$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 12 - 5 = 7$ км/ч
Ответ: $v_{собств.} = 12$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 7$ км/ч.

5
Дано: $v_{течения} = 3$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 16$ км/ч.
Находим собственную скорость и скорость по течению:
$v_{собств.} = v_{пр.\ теч.} + v_{течения} = 16 + 3 = 19$ км/ч
$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 19 + 3 = 22$ км/ч
Ответ: $v_{собств.} = 19$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 22$ км/ч.

6
Дано: $v_{по\ теч.} = 45$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 39$ км/ч.
Находим собственную скорость и скорость течения:
$v_{собств.} = \frac{v_{по\ теч.} + v_{пр.\ теч.}}{2} = \frac{45 + 39}{2} = \frac{84}{2} = 42$ км/ч
$v_{течения} = \frac{v_{по\ теч.} - v_{пр.\ теч.}}{2} = \frac{45 - 39}{2} = \frac{6}{2} = 3$ км/ч
Ответ: $v_{собств.} = 42$ км/ч, $v_{течения} = 3$ км/ч.

545. Определите, какая скорость получится следующим действием:

а) $v_{\text{с.}} + v_{\text{т.}};$

б) $v_{\text{с.}} - v_{\text{т.}};$

в) $v_{\text{пр. т.}} + v_{\text{т.}};$

г) $v_{\text{пр. т.}} + 2v_{\text{т.}};$

д) $v_{\text{по т.}} - v_{\text{т.}};$

е) $v_{\text{по т.}} - v_{\text{пр. т.}};$

Для решения этой задачи введем следующие обозначения, исходя из общепринятых в физике:

• $v_{с.}$ – собственная скорость тела (например, лодки в стоячей воде).
• $v_{т.}$ – скорость течения реки.
• $v_{по\ т.}$ – скорость тела по течению, то есть скорость относительно берега, когда тело движется в направлении течения. Она равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$.
• $v_{пр.\ т.}$ – скорость тела против течения, то есть скорость относительно берега, когда тело движется в направлении, противоположном течению. Она равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$.

Теперь определим, какая скорость получится в каждом случае.

а) $v_{с.} + v_{т.}$
Это выражение представляет собой сумму собственной скорости тела и скорости течения. По определению, это скорость тела, движущегося по течению.
$v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$.
Ответ: скорость по течению ($v_{по\ т.}$).

б) $v_{с.} - v_{т.}$
Это выражение представляет собой разность собственной скорости тела и скорости течения. По определению, это скорость тела, движущегося против течения.
$v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$.
Ответ: скорость против течения ($v_{пр.\ т.}$).

в) $v_{пр.\ т.} + v_{т.}$
Подставим в это выражение формулу для скорости против течения ($v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$):
$v_{пр.\ т.} + v_{т.} = (v_{с.} - v_{т.}) + v_{т.} = v_{с.}$.
В результате мы получаем собственную скорость тела.
Ответ: собственная скорость ($v_{с.}$).

г) $v_{пр.\ т.} + 2v_{т.}$
Подставим в это выражение формулу для скорости против течения ($v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$):
$v_{пр.\ т.} + 2v_{т.} = (v_{с.} - v_{т.}) + 2v_{т.} = v_{с.} + v_{т.}$.
Полученное выражение $v_{с.} + v_{т.}$ является формулой для скорости по течению.
Ответ: скорость по течению ($v_{по\ т.}$).

д) $v_{по\ т.} - v_{т.}$
Подставим в это выражение формулу для скорости по течению ($v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$):
$v_{по\ т.} - v_{т.} = (v_{с.} + v_{т.}) - v_{т.} = v_{с.}$.
В результате мы получаем собственную скорость тела.
Ответ: собственная скорость ($v_{с.}$).

е) $v_{по\ т.} - v_{пр.\ т.}$
Подставим в это выражение формулы для скорости по течению ($v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$) и против течения ($v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$):
$v_{по\ т.} - v_{пр.\ т.} = (v_{с.} + v_{т.}) - (v_{с.} - v_{т.}) = v_{с.} + v_{т.} - v_{с.} + v_{т.} = 2v_{т.}$.
В результате мы получаем удвоенную скорость течения.
Ответ: удвоенная скорость течения ($2v_{т.}$).

546. a) По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения.

б) Катер проплыл 72 км по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

а)

1. Сначала найдем скорость моторной лодки по течению реки. Для этого разделим расстояние на время в пути:

$v_{по\ теч.} = S / t_{по\ теч.} = 48\ км / 3\ ч = 16\ км/ч$

2. Теперь найдем скорость моторной лодки против течения реки:

$v_{против\ теч.} = S / t_{против\ теч.} = 48\ км / 4\ ч = 12\ км/ч$

3. Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки ($v_{с}$) и скорости течения ($v_{т}$), а скорость против течения — их разности.

$v_{с} + v_{т} = 16\ км/ч$

$v_{с} - v_{т} = 12\ км/ч$

4. Чтобы найти скорость течения, можно вычесть второе уравнение из первого или использовать формулу: скорость течения равна половине разности скорости по течению и скорости против течения.

$v_{т} = (v_{по\ теч.} - v_{против\ теч.}) / 2 = (16 - 12) / 2 = 4 / 2 = 2\ км/ч$

Ответ: 2 км/ч.

б)

1. Найдем скорость катера по течению реки:

$v_{по\ теч.} = S / t_{по\ теч.} = 72\ км / 2\ ч = 36\ км/ч$

2. Найдем скорость катера против течения реки:

$v_{против\ теч.} = S / t_{против\ теч.} = 72\ км / 3\ ч = 24\ км/ч$

3. Плоты не имеют собственной скорости, поэтому они плывут со скоростью течения реки. Найдем скорость течения, как и в предыдущей задаче:

$v_{т} = (v_{по\ теч.} - v_{против\ теч.}) / 2 = (36 - 24) / 2 = 12 / 2 = 6\ км/ч$

4. Теперь, зная скорость плотов (равную скорости течения) и расстояние, найдем время, за которое они проплывут это расстояние:

$t_{плотов} = S / v_{т} = 72\ км / 6\ км/ч = 12\ ч$

Ответ: 12 часов.

547. Скорость течения равна $3 \text{ км/ч}$. На сколько километров в час скорость катера по течению больше скорости против течения?

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера (скорость в стоячей воде) как $V_{к}$, а скорость течения реки как $V_{т}$.

Из условия задачи известно, что скорость течения равна 3 км/ч:

$V_{т} = 3$ км/ч

Скорость катера по течению ($V_{по}$) складывается из его собственной скорости и скорости течения:

$V_{по} = V_{к} + V_{т}$

Скорость катера против течения ($V_{против}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$V_{против} = V_{к} - V_{т}$

Чтобы определить, на сколько скорость по течению больше скорости против течения, найдем их разность:

$V_{по} - V_{против} = (V_{к} + V_{т}) - (V_{к} - V_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$V_{по} - V_{против} = V_{к} + V_{т} - V_{к} + V_{т} = 2 \times V_{т}$

Разница скоростей равна удвоенной скорости течения. Подставим известное значение $V_{т}$:

$2 \times 3 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость катера по течению на 6 км/ч больше его скорости против течения.

Ответ: на 6 км/ч.

548. 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними?

Найдите скорость аэроплана.

Для того чтобы найти скорость аэроплана, нужно разделить расстояние, которое он пролетел, на время, затраченное на полет. Используем формулу:

$v = \frac{s}{t}$

где $v$ — скорость, $s$ — расстояние, $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Расстояние $s = 420$ км.
• Время в пути $t = 3$ ч $30$ мин.

Сначала переведем время полета в часы. Поскольку 30 минут составляют половину часа ($0.5$ ч), общее время полета будет:

$t = 3 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 3.5 \text{ ч}$

Теперь подставим значения в формулу и вычислим скорость:

$v = \frac{420 \text{ км}}{3.5 \text{ ч}} = 120 \text{ км/ч}$

Ответ: 120 км/ч.

Какие условия в задаче являются лишними?

Для решения задачи и нахождения скорости нам потребовались только расстояние и время. Вся остальная информация в тексте является избыточной, так как не используется в расчетах.

Лишние условия:

• Дата полета: 15 июля 1923 года.
• Название аэроплана: «Ультиматум».
• Маршрут: из Москвы в Нижний Новгород.
• Информация о том, что это была первая трасса Аэрофлота.
• Высота полета: 250 м.

Ответ: лишними условиями являются дата полета, название аэроплана, его маршрут, историческая справка и высота полета.