Страница 124 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

555. Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого?

Эту задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Решение первым способом (через скорость сближения)

1. Первый юноша вышел на 1 день раньше, поэтому к моменту выхода второго он уже успел пройти некоторое расстояние. Вычислим это расстояние:

$40 \text{ вёрст/день} \times 1 \text{ день} = 40 \text{ вёрст}$

Это начальное расстояние между двумя юношами.

2. Второй юноша движется быстрее первого. Найдём, на сколько он быстрее, то есть найдём их скорость сближения:

$v_{сближения} = 45 \text{ вёрст/день} - 40 \text{ вёрст/день} = 5 \text{ вёрст/день}$

Это означает, что каждый день расстояние между ними сокращается на 5 вёрст.

3. Чтобы найти, через сколько дней второй юноша догонит первого, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения:

$t = \frac{40 \text{ вёрст}}{5 \text{ вёрст/день}} = 8 \text{ дней}$

Ответ: 8 дней.

Решение вторым способом (с помощью уравнения)

1. Пусть $t$ — это время в днях, которое был в пути второй юноша до момента встречи.

2. Поскольку первый юноша вышел на день раньше, его общее время в пути будет $(t + 1)$ дней.

3. К моменту встречи оба юноши пройдут одинаковое расстояние от Москвы. Выразим это расстояние для каждого из них:

Расстояние, которое пройдёт первый юноша: $S_1 = 40 \times (t + 1)$

Расстояние, которое пройдёт второй юноша: $S_2 = 45 \times t$

4. Так как расстояния равны ($S_1 = S_2$), составим и решим уравнение:

$40 \times (t + 1) = 45 \times t$

$40t + 40 = 45t$

$45t - 40t = 40$

$5t = 40$

$t = \frac{40}{5}$

$t = 8$

Таким образом, второй юноша догонит первого через 8 дней.

Ответ: 8 дней.

556. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Пусть $S$ – искомое расстояние от Москвы до Твери в вёрстах.

Скорость первого поезда $v_1 = 39$ вёрст/час.

Скорость второго поезда $v_2 = 26$ вёрст/час.

Время, которое потратил на путь первый поезд, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{39}$ часа.

Время, которое потратил на путь второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{26}$ часа.

По условию задачи, первый поезд прибыл на 2 часа раньше второго. Это означает, что время в пути второго поезда на 2 часа больше, чем у первого. Можем составить уравнение:

$t_2 - t_1 = 2$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$ через $S$:

$\frac{S}{26} - \frac{S}{39} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 26 и 39 равно 78.

$\frac{3 \cdot S}{3 \cdot 26} - \frac{2 \cdot S}{2 \cdot 39} = 2$

$\frac{3S}{78} - \frac{2S}{78} = 2$

$\frac{3S - 2S}{78} = 2$

$\frac{S}{78} = 2$

Теперь найдем расстояние $S$:

$S = 2 \cdot 78$

$S = 156$

Таким образом, расстояние от Москвы до Твери составляет 156 вёрст.

Ответ: 156 вёрст.

557. Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, одновременно навстречу друг другу вышли товарный и скорый поезда. Товарный поезд может пройти это расстояние за 18 ч, а скорый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

Найдем скорость товарного поезда.

Скорость ($v$) равна расстоянию ($S$), деленному на время ($t$). Для товарного поезда расстояние составляет 900 км, а время в пути — 18 часов. Вычислим его скорость:

$v_{товарного} = \frac{S}{t_{товарного}} = \frac{900 \text{ км}}{18 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$

Найдем скорость скорого поезда.

В условии сказано, что скорый поезд вдвое быстрее. Следовательно, его скорость в два раза больше скорости товарного поезда:

$v_{скорого} = v_{товарного} \times 2 = 50 \text{ км/ч} \times 2 = 100 \text{ км/ч}$

Найдем скорость сближения поездов.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сближаются, равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{сближения} = v_{товарного} + v_{скорого} = 50 \text{ км/ч} + 100 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$

Найдем время до встречи.

Чтобы определить, через сколько часов поезда встретятся, необходимо общее расстояние разделить на скорость их сближения:

$t_{встречи} = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{900 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч}$

Ответ: поезда встретятся через 6 часов.

558. a) Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 720 км. Из $A$ в $B$ вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из $B$ в $A$ вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся?

б) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода?

а)

1. Определим, какое расстояние проехал скорый поезд за 2 часа, пока пассажирский поезд еще не выехал. Для этого умножим скорость скорого поезда на время его движения:

$S_1 = v_1 \times t_1 = 80 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

2. Теперь найдем, какое расстояние было между поездами в момент, когда пассажирский поезд начал движение. Для этого вычтем из общего расстояния путь, который уже проехал скорый поезд:

$S_{ост} = S - S_1 = 720 \text{ км} - 160 \text{ км} = 560 \text{ км}$

3. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем скорость сближения поездов:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

4. Чтобы найти время, через которое поезда встретятся (с момента выхода второго поезда), нужно разделить оставшееся между ними расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{560 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: поезда встретятся через 4 часа после выхода второго поезда.

б)

1. Сначала определим, какое расстояние успел пройти пешеход за 3 часа, прежде чем велосипедист выехал. Для этого умножим скорость пешехода на время:

$S_{пеш} = v_{пеш} \times t_1 = 4 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 12 \text{ км}$

2. Это расстояние является начальным расстоянием (форой) между пешеходом и велосипедистом в момент старта велосипедиста.

3. Поскольку велосипедист догоняет пешехода, они движутся в одном направлении. Найдем скорость сближения, вычтя скорость пешехода из скорости велосипедиста:

$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пеш} = 10 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$

4. Чтобы найти время, через которое велосипедист догонит пешехода, разделим начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{догона} = \frac{S_{пеш}}{v_{сбл}} = \frac{12 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: велосипедист догонит пешехода через 2 часа.

559. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

Для решения задачи необходимо определить скорости собаки и зайца, а затем найти время, за которое собака сможет сократить первоначальное расстояние между ними.

1. Найдем скорость зайца.
Заяц пробегает 500 сажен за 2 минуты. Его скорость $v_{зайца}$ равна:
$v_{зайца} = \frac{500 \text{ сажен}}{2 \text{ мин}} = 250 \text{ сажен/мин}$

2. Найдем скорость собаки.
Собака пробегает 1300 сажен за 5 минут. Ее скорость $v_{собаки}$ равна:
$v_{собаки} = \frac{1300 \text{ сажен}}{5 \text{ мин}} = 260 \text{ сажен/мин}$

3. Найдем скорость сближения.
Скорость, с которой собака догоняет зайца (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{собаки} - v_{зайца} = 260 \text{ сажен/мин} - 250 \text{ сажен/мин} = 10 \text{ сажен/мин}$

4. Найдем время, за которое собака догонит зайца.
Первоначальное расстояние между ними составляет 150 сажен. Чтобы найти время $t$, нужно разделить это расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{150 \text{ сажен}}{10 \text{ сажен/мин}} = 15 \text{ мин}$

Ответ: собака догонит зайца через 15 минут.

560. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. Если он идёт вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идёт пассажир метро, если длина эскалатора 150 м?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$L$ – длина эскалатора ($150$ м),
$v_э$ – скорость эскалатора,
$v_п$ – собственная скорость пассажира,
$t_1$ – время подъема стоящего пассажира ($3$ мин),
$t_2$ – время подъема идущего пассажира ($2$ мин).

Сначала определим скорость эскалатора. Когда пассажир стоит, он движется только за счет эскалатора. Скорость эскалатора можно найти по формуле $v = \frac{S}{t}$:
$v_э = \frac{L}{t_1}$
Подставив числовые значения, получим:
$v_э = \frac{150 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$

Далее рассмотрим случай, когда пассажир идет по эскалатору. Его скорость относительно земли является суммой его собственной скорости и скорости эскалатора. Обозначим эту общую скорость как $v_{общ} = v_п + v_э$. За время $t_2$ он проходит то же расстояние $L$. Найдем общую скорость:
$v_{общ} = \frac{L}{t_2}$
Подставим значения:
$v_{общ} = \frac{150 \text{ м}}{2 \text{ мин}} = 75 \text{ м/мин}$

Теперь, зная общую скорость ($75$ м/мин) и скорость эскалатора ($50$ м/мин), мы можем вычислить собственную скорость пассажира, вычтя скорость эскалатора из общей скорости:
$v_п = v_{общ} - v_э$
$v_п = 75 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 25 \text{ м/мин}$

Ответ: 25 м/мин.

561. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через $15$ мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки $8$ км/ч, а скорость течения $3$ км/ч? Нет ли в задаче лишних данных?

Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа?

Для решения этой задачи удобнее всего рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе сама вода (течение) неподвижна.

1. Скорость шляпы, упавшей в воду, относительно воды равна нулю. Шляпа просто покоится на поверхности воды и движется вместе с ней.

2. Скорость лодки относительно воды — это ее собственная скорость, которая по условию составляет $V_{соб} = 8 \text{ км/ч}$. Направление движения (против течения) в данном случае не влияет на величину этой скорости.

3. Таким образом, скорость, с которой лодка удаляется от шляпы (их относительная скорость), равна собственной скорости лодки, то есть $V_{удал} = 8 \text{ км/ч}$.

4. Папа заметил пропажу через время $t = 15$ минут. Переведем это время в часы для согласования единиц измерения: $t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.

5. Теперь можем найти расстояние $S$ между лодкой и шляпой по формуле $S = V \times t$: $S = V_{удал} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.

Ответ: 2 км.

Нет ли в задаче лишних данных?

Да, в задаче есть лишние данные. Как видно из приведенного выше решения, для нахождения расстояния между лодкой и шляпой мы использовали только собственную скорость лодки и время. Скорость течения ($V_{теч} = 3 \text{ км/ч}$) не была использована в расчетах.

Это объясняется тем, что и лодка, и шляпа подвержены влиянию течения. Течение сносит их обоих в одном направлении с одинаковой скоростью (относительно берега). Поэтому на расстояние между ними скорость течения не влияет. Скорость их взаимного удаления всегда равна собственной скорости лодки.

Ответ: да, скорость течения (3 км/ч) является лишним данным.