Страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

549. а) Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно выехали две автомашины. Их скорости $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. Определите скорость удаления автомашин.

б) Два поезда одновременно вышли с одной станции в противоположных направлениях. Их скорости равны $60 \text{ км/ч}$ и $70 \text{ км/ч}$. Через сколько часов расстояние между поездами будет $260 \text{ км}$?

а)

Чтобы определить скорость удаления автомашин, которые движутся из одного пункта в противоположных направлениях, нужно сложить их скорости. За каждый час первая автомашина удаляется от начальной точки на 60 км в одну сторону, а вторая — на 80 км в противоположную. Общее расстояние между ними за час увеличивается на сумму этих расстояний.

Скорость первой автомашины $v_1 = 60$ км/ч.
Скорость второй автомашины $v_2 = 80$ км/ч.

Скорость удаления ($v_{уд}$) вычисляется по формуле:
$v_{уд} = v_1 + v_2$

Подставляем значения скоростей в формулу:
$v_{уд} = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

Ответ: 140 км/ч.

б)

Данная задача решается в два шага. Сначала необходимо найти скорость удаления поездов, а затем, зная итоговое расстояние, вычислить время.

1. Находим скорость удаления поездов. Так как поезда движутся в противоположных направлениях, их скорость удаления ($v_{уд}$) равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$).
Скорость первого поезда $v_1 = 60$ км/ч.
Скорость второго поезда $v_2 = 70$ км/ч.
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$.

2. Теперь, зная, что каждый час поезда удаляются друг от друга на 130 км, найдем время ($t$), через которое расстояние ($S$) между ними составит 260 км. Для этого воспользуемся формулой времени $t = S / v$.
$t = 260 \text{ км} / 130 \text{ км/ч} = 2$ ч.

Ответ: 2 часа.

550. а) Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Определите скорость сближения пешеходов.

б) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения автомашин.

а)

Данная задача решается в три действия.
1. Найдём скорость сближения пешеходов. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Обозначим скорость первого пешехода как $v_1$, а второго — как $v_2$.
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Теперь вычислим, какое расстояние пешеходы пройдут вместе за 3 часа. Для этого умножим скорость сближения на время $t$.
$S_{пройденное} = v_{сближения} \times t = 9 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 27$ км.

3. Чтобы узнать, какое расстояние будет между пешеходами через 3 часа, вычтем из начального расстояния то, которое они уже прошли навстречу друг другу.
$S_{оставшееся} = S_{начальное} - S_{пройденное} = 36 \text{ км} - 27 \text{ км} = 9$ км.

Ответ: скорость сближения пешеходов — 9 км/ч, расстояние между ними через 3 часа будет 9 км.

б)

Скорость сближения объектов, движущихся навстречу друг другу, равна сумме их скоростей. Обозначим скорость первой автомашины как $v_1$, а второй — как $v_2$.
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость сближения автомашин равна 140 км/ч.

551. а) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, а второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

б) Старинная задача. Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст1, а другой человек идёт навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся?

а)

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения двух велосипедистов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. После этого можно будет найти время до встречи, разделив общее расстояние на скорость сближения.

1. Найдём скорость сближения велосипедистов. Это сумма их скоростей:
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная расстояние $S = 36$ км и скорость сближения, найдём время $t$ до встречи по формуле $t = S / v$:
$t = \frac{36 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: через 2 часа.

б)

Данная задача является классической задачей на встречное движение и решается аналогично предыдущей. Необходимо найти общую скорость, с которой путники сближаются, а затем разделить на неё общее расстояние.

1. Найдём скорость сближения путников. Она равна сумме расстояний, которые они проходят за один день:
$v_{сближения} = 40 \text{ вёрст/день} + 30 \text{ вёрст/день} = 70 \text{ вёрст/день}$

2. Зная общее расстояние $S = 700$ вёрст, найдём время $t$, через которое путники встретятся:
$t = \frac{700 \text{ вёрст}}{70 \text{ вёрст/день}} = 10 \text{ дней}$

Ответ: через 10 дней.

552. а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? через 1 час после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

а)

В этой задаче рассматривается встречное движение двух поездов. Чтобы найти расстояние между ними за 1 час до встречи и через 1 час после встречи, нам нужно определить их скорость сближения (и удаления).

1. Найдем скорость сближения поездов.
Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме скоростей первого ($v_1 = 60$ км/ч) и второго ($v_2 = 80$ км/ч) поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

2. Расстояние за 1 час до встречи.
За 1 час до встречи поездам оставалось преодолеть расстояние, которое они вместе проходят за 1 час. Это расстояние равно их скорости сближения, умноженной на 1 час:
$S_1 = v_{сбл} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

3. Расстояние через 1 час после встречи.
После встречи поезда продолжат движение и будут удаляться друг от друга. Скорость их удаления ($v_{уд}$) также равна сумме их скоростей: $140$ км/ч. За 1 час после встречи они удалятся на расстояние, которое они вместе пройдут за 1 час:
$S_2 = v_{уд} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

4. Лишнее условие в задаче.
Для ответа на поставленные вопросы нам потребовались только скорости поездов и временной интервал (1 час). Общее расстояние между городами ($900$ км) не было использовано в расчетах. Следовательно, это условие является лишним.

Ответ: За 1 час до встречи и через 1 час после встречи расстояние между поездами было одинаковым и составляло 140 км. Лишнее условие в задаче — расстояние между городами (900 км).

б)

Этот вопрос можно решить логически, без вычислений. В момент встречи пешеход и велосипедист находятся в одной и той же точке пространства. Следовательно, их расстояние до любой другой точки, в том числе и до села, будет абсолютно одинаковым.

Для проверки можно провести расчеты.

1. Найдем время и место встречи.
Пусть село — это точка 0 на координатной оси, а город — точка 45. Пешеход вышел из села (из точки 0) со скоростью $v_п = 5$ км/ч. Его положение в момент времени $t$ описывается уравнением: $x_п(t) = 5t$.
Велосипедист выехал из города (из точки 45) через час после пешехода со скоростью $v_в = 15$ км/ч. Его движение началось в момент времени $t=1$, и его положение описывается уравнением: $x_в(t) = 45 - 15(t-1)$.
Найдем время встречи, приравняв их координаты: $x_п(t) = x_в(t)$
$5t = 45 - 15(t-1)$
$5t = 45 - 15t + 15$
$5t + 15t = 60$
$20t = 60$
$t = 3$ часа.
Встреча произойдет через 3 часа после выхода пешехода.

2. Определим расстояние от села до места встречи.
Подставим найденное время в уравнение движения пешехода: $x_п(3) = 5 \times 3 = 15$ км.
Таким образом, место встречи находится на расстоянии 15 км от села. В этот момент и пешеход, и велосипедист находятся на расстоянии 15 км от села.

Ответ: В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.

553. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов велосипедисты будут друг от друга на расстоянии 27 км, если их скорости 12 км/ч и 15 км/ч?

Эта задача имеет два возможных решения, поскольку велосипедисты окажутся на расстоянии 27 км друг от друга в двух случаях: до того, как они встретятся, и после того, как они встретятся и продолжат движение, удаляясь друг от друга. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Велосипедисты еще не встретились

1. Найдем скорость сближения велосипедистов. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$

2. Изначально расстояние между ними было 54 км. Чтобы расстояние между ними сократилось до 27 км, они должны вместе проехать расстояние, равное разнице между начальным и конечным расстояниями:
$S_1 = 54 \text{ км} - 27 \text{ км} = 27 \text{ км}$

3. Найдем время, за которое они вместе проедут это расстояние. Для этого разделим пройденное расстояние на скорость сближения:
$t_1 = \frac{S_1}{v_{сбл}} = \frac{27 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$

Ответ: через 1 час.

Случай 2: Велосипедисты встретились и разъехались

1. В этом случае велосипедистам нужно сначала преодолеть все начальное расстояние (54 км), чтобы встретиться, а затем проехать еще 27 км, удаляясь друг от друга. Таким образом, общее расстояние, которое они проедут вместе с момента старта, составляет:
$S_2 = 54 \text{ км} + 27 \text{ км} = 81 \text{ км}$

2. Скорость, с которой они удаляются друг от друга после встречи, равна их скорости сближения:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 27 \text{ км/ч}$

3. Найдем общее время, которое потребуется, чтобы преодолеть все это расстояние:
$t_2 = \frac{S_2}{v_{уд}} = \frac{81 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Ответ: через 3 часа.

554. a) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?

б) Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, а второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

а) Велосипедист и мотоциклист выехали из одного пункта в одном направлении. Чтобы найти скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), нужно из большей скорости вычесть меньшую.

1) Скорость удаления ($v_{уд}$) равна разности скоростей мотоциклиста ($v_м$) и велосипедиста ($v_в$):
$v_{уд} = v_м - v_в = 40 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$.

2) Чтобы найти время ($t$), через которое расстояние ($S$) между ними достигнет 56 км, нужно это расстояние разделить на скорость удаления:
$t = S / v_{уд} = 56 \text{ км} / 28 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: скорость их удаления друг от друга равна 28 км/ч. Расстояние между ними будет 56 км через 2 часа.

б) Два мотоциклиста движутся в одном направлении, при этом второй, который едет быстрее, догоняет первого. Чтобы найти время, через которое произойдет встреча, нужно сначала определить скорость сближения.

1) Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна разности скоростей второго ($v_2$) и первого ($v_1$) мотоциклистов:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 50 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

2) Чтобы найти время ($t$), за которое второй мотоциклист догонит первого, нужно начальное расстояние ($S_0$) между ними разделить на скорость сближения:
$t = S_0 / v_{сбл} = 30 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: второй мотоциклист догонит первого через 3 часа.