Номер 552, страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

552. а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? через 1 час после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

а)

В этой задаче рассматривается встречное движение двух поездов. Чтобы найти расстояние между ними за 1 час до встречи и через 1 час после встречи, нам нужно определить их скорость сближения (и удаления).

1. Найдем скорость сближения поездов.
Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме скоростей первого ($v_1 = 60$ км/ч) и второго ($v_2 = 80$ км/ч) поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

2. Расстояние за 1 час до встречи.
За 1 час до встречи поездам оставалось преодолеть расстояние, которое они вместе проходят за 1 час. Это расстояние равно их скорости сближения, умноженной на 1 час:
$S_1 = v_{сбл} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

3. Расстояние через 1 час после встречи.
После встречи поезда продолжат движение и будут удаляться друг от друга. Скорость их удаления ($v_{уд}$) также равна сумме их скоростей: $140$ км/ч. За 1 час после встречи они удалятся на расстояние, которое они вместе пройдут за 1 час:
$S_2 = v_{уд} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

4. Лишнее условие в задаче.
Для ответа на поставленные вопросы нам потребовались только скорости поездов и временной интервал (1 час). Общее расстояние между городами ($900$ км) не было использовано в расчетах. Следовательно, это условие является лишним.

Ответ: За 1 час до встречи и через 1 час после встречи расстояние между поездами было одинаковым и составляло 140 км. Лишнее условие в задаче — расстояние между городами (900 км).

б)

Этот вопрос можно решить логически, без вычислений. В момент встречи пешеход и велосипедист находятся в одной и той же точке пространства. Следовательно, их расстояние до любой другой точки, в том числе и до села, будет абсолютно одинаковым.

Для проверки можно провести расчеты.

1. Найдем время и место встречи.
Пусть село — это точка 0 на координатной оси, а город — точка 45. Пешеход вышел из села (из точки 0) со скоростью $v_п = 5$ км/ч. Его положение в момент времени $t$ описывается уравнением: $x_п(t) = 5t$.
Велосипедист выехал из города (из точки 45) через час после пешехода со скоростью $v_в = 15$ км/ч. Его движение началось в момент времени $t=1$, и его положение описывается уравнением: $x_в(t) = 45 - 15(t-1)$.
Найдем время встречи, приравняв их координаты: $x_п(t) = x_в(t)$
$5t = 45 - 15(t-1)$
$5t = 45 - 15t + 15$
$5t + 15t = 60$
$20t = 60$
$t = 3$ часа.
Встреча произойдет через 3 часа после выхода пешехода.

2. Определим расстояние от села до места встречи.
Подставим найденное время в уравнение движения пешехода: $x_п(3) = 5 \times 3 = 15$ км.
Таким образом, место встречи находится на расстоянии 15 км от села. В этот момент и пешеход, и велосипедист находятся на расстоянии 15 км от села.

Ответ: В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.