Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

519. Какие единицы массы вы знаете?

Масса — это физическая величина, которая является мерой инертности тела. Для её измерения существует множество единиц. В Международной системе единиц (СИ) основной единицей массы является килограмм.

Ниже перечислены наиболее часто используемые в быту и науке единицы массы и их соотношения:

• Тонна (т): Крупная единица массы, используемая для измерения веса очень тяжелых объектов, например, транспортных средств или больших объемов груза.
  $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ килограммов} \ (1 \text{ т} = 1000 \text{ кг})$
• Центнер (ц): Единица массы, равная 100 килограммам. Часто используется в сельском хозяйстве для измерения урожая.
  $1 \text{ центнер} = 100 \text{ килограммов} \ (1 \text{ ц} = 100 \text{ кг})$
  Таким образом, $1 \text{ тонна} = 10 \text{ центнеров}$.
• Килограмм (кг): Основная единица массы. Широко используется в повседневной жизни для измерения массы продуктов, веса человека и множества других объектов.
  $1 \text{ килограмм} = 1000 \text{ граммов} \ (1 \text{ кг} = 1000 \text{ г})$
• Грамм (г): Производная единица массы, которая составляет одну тысячную долю килограмма. Используется для измерения небольших масс, например, в кулинарии, ювелирном деле или химии.
  $1 \text{ грамм} = 1000 \text{ миллиграммов} \ (1 \text{ г} = 1000 \text{ мг})$
• Миллиграмм (мг): Единица массы, равная одной тысячной доле грамма. Применяется для измерения очень малых масс, в основном в медицине для дозировки лекарств и в научных исследованиях.
  $1 \text{ миллиграмм} = 0.001 \text{ грамма}$

Кроме метрической системы, существуют и другие единицы, например, фунт, унция, карат (для драгоценных камней), а также старорусская единица — пуд.

Ответ: Наиболее известные единицы массы: тонна (т), центнер (ц), килограмм (кг), грамм (г), миллиграмм (мг).

520. Как определяется 1 г, 1 кг, 1 т?

Грамм (г), килограмм (кг) и тонна (т) — это единицы измерения массы, которые определяются друг через друга. Основной единицей массы в Международной системе единиц (СИ) является килограмм.

1 г
Грамм (г) — это единица массы, определяемая как одна тысячная часть килограмма. Хотя килограмм является основной единицей в современной системе СИ, исторически грамм был первичной единицей в некоторых системах мер (например, СГС). Первоначально он определялся как масса одного кубического сантиметра ($1 \text{ см}^3$) чистой воды при температуре её наибольшей плотности (около $+4^\circ\text{C}$).
В современной системе СИ грамм является производной единицей:
$1 \text{ г} = \frac{1}{1000} \text{ кг} = 10^{-3} \text{ кг}$.
Ответ: 1 грамм — это масса, равная одной тысячной доле килограмма.

1 кг
Килограмм (кг) является основной единицей массы в системе СИ. Его современное определение, принятое в 2019 году, основано на значении фундаментальной физической константы — постоянной Планка $h$.
Численное значение постоянной Планка зафиксировано и составляет $h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$. Единица $\text{Дж} \cdot \text{с}$ эквивалентна $\text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-1}$. Так как определения метра (м) и секунды (с) также основаны на фундаментальных константах, это позволяет точно определить килограмм.
До 2019 года килограмм определялся как масса физического эталона — международного прототипа килограмма, изготовленного из платино-иридиевого сплава.
Ответ: 1 килограмм — это основная единица массы в СИ, определяемая через фиксированное значение постоянной Планка $h$.

1 т
Тонна (т) — это метрическая единица массы, равная 1000 килограммов. Она не входит в систему СИ как основная или производная единица, но её использование повсеместно принято и допускается совместно с единицами СИ.
Соотношение с килограммом следующее:
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
Тонна также равна одному миллиону граммов:
$1 \text{ т} = 1~000~000 \text{ г} = 10^6 \text{ г}$.
Ответ: 1 тонна — это масса, равная 1000 килограммов.

521. a) Какой объём при $4^\circ C$ занимает 1 г, 1 кг, 1 т воды?

б) Какой объём при $4^\circ C$ занимает 3 г, 7 кг, 79 т воды?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу, связывающую массу ($m$), объём ($V$) и плотность ($\rho$) вещества: $V = \frac{m}{\rho}$.

Ключевым фактом является то, что при температуре 4 °C вода обладает своей максимальной плотностью. В расчётах принято использовать значение плотности воды, равное:

$\rho \approx 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Для удобства вычислений также полезно использовать следующие эквивалентные значения плотности:

• $\rho = 1 \text{ г/мл}$ (поскольку 1 см³ = 1 мл)
• $\rho = 1 \text{ кг/л}$ (поскольку 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, а 1 кг = 1000 г)
• $\rho = 1 \text{ т/м}^3$ (поскольку 1 т = 1000 кг)

Рассчитаем объём для каждой указанной массы воды.

Для массы 1 г:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ г/см}^3$.

$V = \frac{1 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 1 \text{ см}^3$ (или 1 мл).

Для массы 1 кг:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ кг/л}$.

$V = \frac{1 \text{ кг}}{1 \text{ кг/л}} = 1 \text{ л}$ (или 1 дм³).

Для массы 1 т:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ т/м}^3$.

$V = \frac{1 \text{ т}}{1 \text{ т/м}^3} = 1 \text{ м}^3$.

Ответ: 1 г воды занимает объём 1 см³ (1 мл); 1 кг воды занимает объём 1 л (1 дм³); 1 т воды занимает объём 1 м³.

Рассчитаем объём для каждой указанной массы воды.

Для массы 3 г:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ г/см}^3$.

$V = \frac{3 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 3 \text{ см}^3$ (или 3 мл).

Для массы 7 кг:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ кг/л}$.

$V = \frac{7 \text{ кг}}{1 \text{ кг/л}} = 7 \text{ л}$ (или 7 дм³).

Для массы 79 т:

Используем плотность $\rho = 1 \text{ т/м}^3$.

$V = \frac{79 \text{ т}}{1 \text{ т/м}^3} = 79 \text{ м}^3$.

Ответ: 3 г воды занимает объём 3 см³ (3 мл); 7 кг воды занимает объём 7 л (7 дм³); 79 т воды занимает объём 79 м³.

522. Выразите данную массу в килограммах:

а) 1 Ц;

б) 12 Ц;

в) 1 т;

г) 25 т;

д) 37 Ц;

е) 12 т 24 Ц.

а) Для того чтобы выразить массу в килограммах, необходимо знать соотношения единиц массы. В одном центнере (ц) содержится 100 килограммов (кг).
$1 \text{ ц} = 1 \times 100 \text{ кг} = 100 \text{ кг}$.
Ответ: 100 кг.

б) Чтобы выразить 12 центнеров в килограммах, нужно умножить это значение на 100, так как $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$12 \text{ ц} = 12 \times 100 \text{ кг} = 1200 \text{ кг}$.
Ответ: 1200 кг.

в) В одной тонне (т) содержится 1000 килограммов (кг).
$1 \text{ т} = 1 \times 1000 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$.
Ответ: 1000 кг.

г) Чтобы выразить 25 тонн в килограммах, нужно умножить это значение на 1000, так как $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
$25 \text{ т} = 25 \times 1000 \text{ кг} = 25000 \text{ кг}$.
Ответ: 25000 кг.

д) Чтобы выразить 37 центнеров в килограммах, умножим это значение на 100.
$37 \text{ ц} = 37 \times 100 \text{ кг} = 3700 \text{ кг}$.
Ответ: 3700 кг.

е) Чтобы выразить 12 тонн 24 центнера в килограммах, необходимо перевести в килограммы каждую часть и сложить полученные значения.
Переведем 12 тонн в килограммы: $12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$.
Переведем 24 центнера в килограммы: $24 \text{ ц} = 24 \times 100 \text{ кг} = 2400 \text{ кг}$.
Теперь сложим результаты: $12000 \text{ кг} + 2400 \text{ кг} = 14400 \text{ кг}$.
Ответ: 14400 кг.

523. Выразите данную массу в граммах:

а) $1 \text{ кг}$;

б) $87 \text{ кг}$;

в) $1 \text{ ц}$;

г) $24 \text{ ц}$;

д) $1 \text{ т}$;

е) $13 \text{ т}$;

ж) $35 \text{ т } 7 \text{ ц}$;

з) $37 \text{ ц } 15 \text{ кг}$;

и) $35 \text{ т } 36 \text{ ц } 12 \text{ кг}$.

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц массы:

• 1 килограмм (кг) = 1000 грамм (г)
• 1 центнер (ц) = 100 килограмм = 100 000 грамм
• 1 тонна (т) = 1000 килограмм = 1 000 000 грамм

а) Чтобы выразить 1 кг в граммах, умножаем количество килограммов на 1000.
$1 \text{ кг} = 1 \times 1000 \text{ г} = 1000 \text{ г}$.
Ответ: 1000 г.

б) Чтобы выразить 87 кг в граммах, умножаем количество килограммов на 1000.
$87 \text{ кг} = 87 \times 1000 \text{ г} = 87000 \text{ г}$.
Ответ: 87000 г.

в) Чтобы выразить 1 ц в граммах, умножаем количество центнеров на 100 000.
$1 \text{ ц} = 1 \times 100000 \text{ г} = 100000 \text{ г}$.
Ответ: 100000 г.

г) Чтобы выразить 24 ц в граммах, умножаем количество центнеров на 100 000.
$24 \text{ ц} = 24 \times 100000 \text{ г} = 2400000 \text{ г}$.
Ответ: 2400000 г.

д) Чтобы выразить 1 т в граммах, умножаем количество тонн на 1 000 000.
$1 \text{ т} = 1 \times 1000000 \text{ г} = 1000000 \text{ г}$.
Ответ: 1000000 г.

е) Чтобы выразить 13 т в граммах, умножаем количество тонн на 1 000 000.
$13 \text{ т} = 13 \times 1000000 \text{ г} = 13000000 \text{ г}$.
Ответ: 13000000 г.

ж) Сначала переводим тонны и центнеры в граммы по отдельности, а затем складываем полученные значения.
$35 \text{ т} = 35 \times 1000000 \text{ г} = 35000000 \text{ г}$.
$7 \text{ ц} = 7 \times 100000 \text{ г} = 700000 \text{ г}$.
$35 \text{ т} \text{ } 7 \text{ ц} = 35000000 \text{ г} + 700000 \text{ г} = 35700000 \text{ г}$.
Ответ: 35700000 г.

з) Переводим центнеры и килограммы в граммы по отдельности, а затем складываем полученные значения.
$37 \text{ ц} = 37 \times 100000 \text{ г} = 3700000 \text{ г}$.
$15 \text{ кг} = 15 \times 1000 \text{ г} = 15000 \text{ г}$.
$37 \text{ ц} \text{ } 15 \text{ кг} = 3700000 \text{ г} + 15000 \text{ г} = 3715000 \text{ г}$.
Ответ: 3715000 г.

и) Переводим тонны, центнеры и килограммы в граммы по отдельности, а затем складываем все полученные значения.
$35 \text{ т} = 35 \times 1000000 \text{ г} = 35000000 \text{ г}$.
$36 \text{ ц} = 36 \times 100000 \text{ г} = 3600000 \text{ г}$.
$12 \text{ кг} = 12 \times 1000 \text{ г} = 12000 \text{ г}$.
$35 \text{ т} \text{ } 36 \text{ ц} \text{ } 12 \text{ кг} = 35000000 \text{ г} + 3600000 \text{ г} + 12000 \text{ г} = 38612000 \text{ г}$.
Ответ: 38612000 г.

524. Выполните действия:

а) $37 \text{ г} + 4 \text{ г}$;

б) $9 \text{ кг } 326 \text{ г} + 2 \text{ кг} + 457 \text{ г}$;

в) $23 \text{ кг} - 2 \text{ кг } 754 \text{ г}$;

г) $43 \text{ кг } 271 \text{ г} - 5 \text{ кг } 39 \text{ г}$.

а) Чтобы выполнить сложение $37 \text{ г} + 4 \text{ г}$, необходимо сложить числовые значения, так как они имеют одинаковые единицы измерения (граммы).
$37 + 4 = 41$
Таким образом, результат сложения равен 41 грамму.
Ответ: 41 г.

б) Для выполнения действия $9 \text{ кг} \ 326 \text{ г} + 2 \text{ кг} + 457 \text{ г}$ необходимо отдельно сложить килограммы и отдельно граммы.
Складываем килограммы: $9 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 11 \text{ кг}$.
Складываем граммы: $326 \text{ г} + 457 \text{ г} = 783 \text{ г}$.
Поскольку количество граммов (783) меньше 1000, дополнительного перевода в килограммы не требуется. Объединяем полученные значения.
Ответ: 11 кг 783 г.

в) Чтобы из $23 \text{ кг}$ вычесть $2 \text{ кг} \ 754 \text{ г}$, необходимо преобразовать уменьшаемое. Возьмем 1 кг из 23 кг и представим его в виде граммов, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
$23 \text{ кг} = 22 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 22 \text{ кг} \ 1000 \text{ г}$.
Теперь можно выполнить вычитание покомпонентно:
$(22 \text{ кг} \ 1000 \text{ г}) - (2 \text{ кг} \ 754 \text{ г})$
Вычитаем килограммы: $22 \text{ кг} - 2 \text{ кг} = 20 \text{ кг}$.
Вычитаем граммы: $1000 \text{ г} - 754 \text{ г} = 246 \text{ г}$.
Объединяем результаты.
Ответ: 20 кг 246 г.

г) Для выполнения вычитания $43 \text{ кг} \ 271 \text{ г} - 5 \text{ кг} \ 39 \text{ г}$ вычтем килограммы из килограммов и граммы из граммов.
Количество граммов в уменьшаемом (271 г) больше, чем в вычитаемом (39 г), поэтому "занимать" единицу у килограммов не нужно.
Вычитаем килограммы: $43 \text{ кг} - 5 \text{ кг} = 38 \text{ кг}$.
Вычитаем граммы: $271 \text{ г} - 39 \text{ г} = 232 \text{ г}$.
Объединяем полученные значения.
Ответ: 38 кг 232 г.

525. Данные величины запишите с точностью до 1 кг:

а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением.

$6 \text{ кг } 721 \text{ г} \approx 6 \text{ кг с недостатком};$

$6 \text{ кг } 721 \text{ г} \approx 7 \text{ кг с избытком и с округлением}. $

1) 5 кг 768 г;

2) 9 кг 326 г;

3) 4 ц 36 кг 125 г;

4) 5 т 7 ц.

1) 5 кг 768 г
Для выполнения задания необходимо выразить величину в килограммах с точностью до грамма. В 1 кг содержится 1000 г, поэтому 768 г = 0,768 кг.
$5 \text{ кг } 768 \text{ г} = 5 + \frac{768}{1000} \text{ кг} = 5,768 \text{ кг}$.
Теперь запишем эту величину с точностью до 1 кг тремя способами:
а) с недостатком: Округляем 5,768 кг в меньшую сторону до ближайшего целого, отбрасывая дробную часть. Получаем 5 кг.
б) с избытком: Округляем 5,768 кг в большую сторону до следующего целого числа. Получаем 6 кг.
в) с округлением: Применяем стандартные правила округления. Так как количество граммов (768 г) больше 500 г, округляем в большую сторону. Получаем 6 кг.
Ответ: а) 5 кг; б) 6 кг; в) 6 кг.

2) 9 кг 326 г
Выразим величину в килограммах: 326 г = 0,326 кг.
$9 \text{ кг } 326 \text{ г} = 9 + \frac{326}{1000} \text{ кг} = 9,326 \text{ кг}$.
Запишем эту величину с точностью до 1 кг:
а) с недостатком: Округляем 9,326 кг в меньшую сторону до целого числа. Получаем 9 кг.
б) с избытком: Округляем 9,326 кг в большую сторону до следующего целого числа. Получаем 10 кг.
в) с округлением: Так как количество граммов (326 г) меньше 500 г, округляем в меньшую сторону. Получаем 9 кг.
Ответ: а) 9 кг; б) 10 кг; в) 9 кг.

3) 4 ц 36 кг 125 г
Переведем все единицы измерения в килограммы, используя соотношения: 1 центнер (ц) = 100 кг и 1 кг = 1000 г.
$4 \text{ ц } 36 \text{ кг } 125 \text{ г} = (4 \times 100) \text{ кг} + 36 \text{ кг} + \frac{125}{1000} \text{ кг} = 400 + 36 + 0,125 = 436,125 \text{ кг}$.
Запишем эту величину с точностью до 1 кг:
а) с недостатком: Округляем 436,125 кг в меньшую сторону до целого числа. Получаем 436 кг.
б) с избытком: Округляем 436,125 кг в большую сторону до следующего целого числа. Получаем 437 кг.
в) с округлением: Так как количество граммов (125 г) меньше 500 г, округляем в меньшую сторону. Получаем 436 кг.
Ответ: а) 436 кг; б) 437 кг; в) 436 кг.

4) 5 т 7 ц
Переведем все единицы измерения в килограммы, используя соотношения: 1 тонна (т) = 1000 кг и 1 центнер (ц) = 100 кг.
$5 \text{ т } 7 \text{ ц} = (5 \times 1000) \text{ кг} + (7 \times 100) \text{ кг} = 5000 + 700 = 5700 \text{ кг}$.
Так как полученное значение уже является целым числом килограммов (дробная часть равна нулю), все три вида записи будут совпадать.
а) с недостатком: 5700 кг.
б) с избытком: 5700 кг.
в) с округлением: 5700 кг.
Ответ: а) 5700 кг; б) 5700 кг; в) 5700 кг.