Страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

515. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 45 см, ширина 30 см, а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см?

Для решения этой задачи необходимо выполнить три шага: найти объем воды, который нужно налить в аквариум, перевести этот объем в литры, а затем рассчитать, сколько раз для этого потребуется наполнить трёхлитровую банку.

1. Находим объем воды в аквариуме.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем такой фигуры вычисляется по формуле:

$V = a \times b \times h$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $h$ – высота.

Нам нужно, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см. Следовательно, мы будем вычислять объем не всего аквариума, а только той его части, которую займет вода.

Используем следующие данные:

• Длина ($a$): 45 см
• Ширина ($b$): 30 см
• Требуемая высота воды ($h$): 20 см

Вычисляем объем воды:

$V_{воды} = 45 \, \text{см} \times 30 \, \text{см} \times 20 \, \text{см} = 27000 \, \text{см}^3$.

2. Переводим объем воды в литры.

Известно, что 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам ($1 \, \text{л} = 1000 \, \text{см}^3$). Чтобы перевести объем из кубических сантиметров в литры, необходимо разделить полученное значение на 1000.

$27000 \, \text{см}^3 = \frac{27000}{1000} \, \text{л} = 27 \, \text{л}$.

Таким образом, в аквариум необходимо налить 27 литров воды.

3. Определяем, сколько раз нужно наполнить банку.

Воду наливают с помощью трёхлитровой банки. Чтобы узнать, сколько раз придётся её наполнить, нужно общий объем воды разделить на объем одной банки.

Количество наполнений = $\frac{\text{Общий объем воды}}{\text{Объем банки}} = \frac{27 \, \text{л}}{3 \, \text{л}} = 9$.

Ответ: 9 раз.

516. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

а) его длину увеличить в 2 раза;
Пусть начальный объём равен $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Если длину $a$ увеличить в 2 раза, то новая длина станет $2a$. Ширина $b$ и высота $c$ остаются без изменений.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 2 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 2 раза.
Ответ: объём увеличится в 2 раза.

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $2a$, а новая ширина – $3b$. Высота $c$ остаётся без изменений.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot c = (2 \cdot 3) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 6 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 6 раз.
Ответ: объём увеличится в 6 раз.

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $2a$, новая ширина – $3b$, а новая высота – $4c$.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 24 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 24 раза.
Ответ: объём увеличится в 24 раза.

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $4a$. Новая ширина – $\frac{b}{2}$, а новая высота – $\frac{c}{2}$.
Новый объём $V_2 = (4a) \cdot (\frac{b}{2}) \cdot (\frac{c}{2}) = \frac{4 \cdot a \cdot b \cdot c}{2 \cdot 2} = \frac{4 \cdot (a \cdot b \cdot c)}{4} = 1 \cdot V_1 = V_1$.
Таким образом, объём не изменится.
Ответ: объём не изменится.

517. Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра:

а) в 2 раза;

б) в 3 раза;

в) в 10 раз?

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра.

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a_1$. Тогда его объем $V_1 = a_1^3$.

Если ребро увеличить в $k$ раз, то новая длина ребра будет $a_2 = k \cdot a_1$.

Новый объем куба $V_2$ будет равен $V_2 = (a_2)^3 = (k \cdot a_1)^3 = k^3 \cdot a_1^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение нового объема к первоначальному:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{k^3 \cdot a_1^3}{a_1^3} = k^3$

Таким образом, при увеличении ребра куба в $k$ раз, его объем увеличивается в $k^3$ раз.

а)

Если ребро куба увеличить в 2 раза, то есть $k=2$, его объем увеличится в $2^3$ раз.

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: в 8 раз.

б)

Если ребро куба увеличить в 3 раза, то есть $k=3$, его объем увеличится в $3^3$ раз.

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: в 27 раз.

в)

Если ребро куба увеличить в 10 раз, то есть $k=10$, его объем увеличится в $10^3$ раз.

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Ответ: в 1000 раз.

518. Найдите в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

a) Какую величину на Руси измеряли вёдрами?

б) Что измеряют галлонами? баррелями? В каких странах используются эти единицы измерения?

в) На ёмкостях иностранного производства иногда встречается такое обозначение объёма: $100 \text{ cl}$ (100 сантилитров). Выразите этот объём в принятых в России единицах.

а) Какую величину на Руси измеряли вёдрами?

Вёдрами на Руси измеряли объём, в первую очередь объём жидкостей. Ведро было одной из основных дометрических русских единиц объёма, которая использовалась для измерения вина, мёда, кваса и других напитков. Казённое (торговое) ведро равнялось примерно 12,3 литрам.

Ответ: объём.

б) Что измеряют галлонами? баррелями? В каких странах используются эти единицы измерения?

Галлонами и баррелями измеряют объём, как правило, жидкостей или сыпучих веществ.

• Галлон — это мера объёма, используемая для измерения жидкостей, например, бензина или молока. Существуют разные виды галлонов: американский (около 3,785 литра) и имперский (около 4,546 литра).
• Баррель — это также мера объёма. Наиболее известен нефтяной баррель, который равен 42 американским галлонам или примерно 159 литрам. Он используется в качестве основной единицы измерения в мировой нефтедобывающей промышленности.

Эти единицы измерения являются частью британской имперской и американской традиционной систем мер. Они используются в основном в США, а также (хотя и реже) в Великобритании, Либерии, Мьянме и некоторых других странах, исторически связанных с Британской империей.

Ответ: галлонами и баррелями измеряют объём; эти единицы используются преимущественно в США, а также в Великобритании и некоторых других странах.

в) На ёмкостях иностранного производства иногда встречается такое обозначение объёма: 100 cl (100 сантилитров). Выразите этот объём в принятых в России единицах.

В России принята метрическая система мер, основными единицами объёма в которой являются литр (л) и его производные (миллилитр, кубический метр и т.д.).

Сантилитр (сл или cl) — это дольная единица объёма, равная одной сотой части литра.

Соотношение между литром и сантилитром следующее:

$1 \text{ л} = 100 \text{ сл}$

Следовательно, чтобы выразить 100 сантилитров в литрах, можно воспользоваться этой пропорцией:

$100 \text{ сл} = \frac{100}{100} \text{ л} = 1 \text{ л}$

Таким образом, объём 100 сантилитров равен 1 литру. Этот объём также можно выразить в миллилитрах, зная, что $1 \text{ л} = 1000 \text{ мл}$.

Ответ: 1 литр.