Номер 516, страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

516. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

а) его длину увеличить в 2 раза;
Пусть начальный объём равен $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Если длину $a$ увеличить в 2 раза, то новая длина станет $2a$. Ширина $b$ и высота $c$ остаются без изменений.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 2 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 2 раза.
Ответ: объём увеличится в 2 раза.

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $2a$, а новая ширина – $3b$. Высота $c$ остаётся без изменений.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot c = (2 \cdot 3) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 6 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 6 раз.
Ответ: объём увеличится в 6 раз.

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $2a$, новая ширина – $3b$, а новая высота – $4c$.
Новый объём $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 24 \cdot V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 24 раза.
Ответ: объём увеличится в 24 раза.

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?
Начальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Новая длина станет $4a$. Новая ширина – $\frac{b}{2}$, а новая высота – $\frac{c}{2}$.
Новый объём $V_2 = (4a) \cdot (\frac{b}{2}) \cdot (\frac{c}{2}) = \frac{4 \cdot a \cdot b \cdot c}{2 \cdot 2} = \frac{4 \cdot (a \cdot b \cdot c)}{4} = 1 \cdot V_1 = V_1$.
Таким образом, объём не изменится.
Ответ: объём не изменится.