Страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

487. Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы. Определите площадь каждого участка в квадратных метрах.

Для того чтобы определить площадь каждого участка в квадратных метрах, необходимо сначала перевести общую площадь поля из гектаров (га) в квадратные метры (м²).

Известно, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров:

$1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$

Следовательно, общая площадь поля составляет:

$5 \text{ га} = 5 \times 10\,000 \text{ м}^2 = 50\,000 \text{ м}^2$

Далее, чтобы найти площадь одного из восьми равных участков, нужно общую площадь разделить на количество участков:

$\frac{50\,000 \text{ м}^2}{8} = 6250 \text{ м}^2$

Таким образом, площадь каждого участка составляет 6250 квадратных метров.

Ответ: 6250 м².

488. Площадь прямоугольника $91 \text{ см}^2$, а его высота $7 \text{ см}$. Определите основание прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = a \cdot h$

где $S$ – площадь, $a$ – основание, а $h$ – высота.

В данной задаче известны площадь $S = 91 \text{ см}^2$ и высота $h = 7 \text{ см}$. Чтобы найти основание $a$, нужно выразить его из формулы площади:

$a = \frac{S}{h}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{91}{7} = 13 \text{ см}$

Ответ: 13 см.

489. Квартира состоит из двух комнат, кухни и подсобных помещений. Размеры первой комнаты $4 \text{ м} \times 5 \text{ м}$, второй — $3 \text{ м} \times 5 \text{ м}$, кухни $4 \text{ м} \times 3 \text{ м}$, а площадь подсобных помещений равна $10 \text{ м}^2$. Определите общую площадь квартиры.

Для того чтобы найти общую площадь квартиры, нужно последовательно вычислить площадь каждой комнаты и кухни, а затем сложить полученные значения с площадью подсобных помещений.

1. Найдем площадь первой комнаты.

Размеры первой комнаты составляют 4 м на 5 м. Площадь прямоугольного помещения вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — его стороны.

$S_1 = 4 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$

2. Найдем площадь второй комнаты.

Размеры второй комнаты — 3 м на 5 м.

$S_2 = 3 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 15 \text{ м}^2$

3. Найдем площадь кухни.

Размеры кухни — 4 м на 3 м.

$S_{кухни} = 4 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$

4. Определим общую площадь квартиры.

Площадь подсобных помещений дана в условии и составляет 10 м². Теперь сложим площади всех частей квартиры:

$S_{общая} = S_1 + S_2 + S_{кухни} + S_{подсобных}$

$S_{общая} = 20 \text{ м}^2 + 15 \text{ м}^2 + 12 \text{ м}^2 + 10 \text{ м}^2 = 57 \text{ м}^2$

Ответ: 57 м².

490. Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см.

а) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

б) Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

а)

Для начала найдем периметр прямоугольника со сторонами $a = 2$ см и $b = 8$ см. Периметр прямоугольника ($P_{прям}$) вычисляется по формуле:
$P_{прям} = 2(a + b)$
$P_{прям} = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

По условию задачи, периметр квадрата ($P_{кв}$) равен периметру прямоугольника, значит $P_{кв} = 20$ см.
Периметр квадрата находится по формуле $P_{кв} = 4c$, где $c$ – его сторона.
Отсюда можно найти сторону квадрата:
$c = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{20}{4} = 5$ см.

Теперь вычислим площадь квадрата ($S_{кв}$) по формуле $S_{кв} = c^2$:
$S_{кв} = 5^2 = 25$ $см^2$.

Ответ: 25 $см^2$.

б)

Сначала найдем площадь прямоугольника ($S_{прям}$) со сторонами $a = 2$ см и $b = 8$ см. Площадь вычисляется по формуле:
$S_{прям} = a \cdot b$
$S_{прям} = 2 \cdot 8 = 16$ $см^2$.

По условию, площадь квадрата ($S_{кв}$) равна площади прямоугольника, следовательно, $S_{кв} = 16$ $см^2$.
Площадь квадрата связана с его стороной $c$ формулой $S_{кв} = c^2$.
Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади:
$c = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

491. a) Верно ли, что если прямоугольники равны, то их площади равны?

б) Верно ли, что если площади прямоугольников равны, то прямоугольники равны?

а) Да, это утверждение верно. По определению, равные геометрические фигуры — это фигуры, которые можно совместить наложением. Если два прямоугольника равны, это означает, что их соответствующие стороны равны.

Пусть у первого прямоугольника стороны равны $a$ и $b$, а у второго — $c$ и $d$. Если прямоугольники равны, то их стороны попарно равны (например, $a=c$ и $b=d$).

Площадь первого прямоугольника вычисляется по формуле $S_1 = a \cdot b$.

Площадь второго прямоугольника вычисляется по формуле $S_2 = c \cdot d$.

Так как соответствующие стороны прямоугольников равны, то и их произведения будут равны. Следовательно, $S_1 = S_2$. Таким образом, площади равных прямоугольников всегда равны.

Ответ: да, верно.

б) Нет, это утверждение неверно. Если площади двух прямоугольников равны, это не означает, что сами прямоугольники равны. Равенство площадей означает, что произведение длин сторон одного прямоугольника равно произведению длин сторон другого, однако сами стороны могут быть разными. Чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим два прямоугольника:

1. Первый прямоугольник со сторонами $a_1 = 4$ см и $b_1 = 6$ см. Его площадь $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 4 \cdot 6 = 24$ см².

2. Второй прямоугольник со сторонами $a_2 = 3$ см и $b_2 = 8$ см. Его площадь $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 3 \cdot 8 = 24$ см².

Площади этих прямоугольников равны ($S_1 = S_2$), но их стороны имеют разную длину. Следовательно, сами прямоугольники не являются равными, так как их нельзя совместить наложением.

Ответ: нет, неверно.

492. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) его длину и ширину увеличить в 2 раза;

в) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $a$ – это длина, а $b$ – это ширина прямоугольника. Обозначим исходную площадь как $S_1$.

а) Пусть исходные длина и ширина прямоугольника равны $a$ и $b$ соответственно. Тогда его площадь $S_1 = a \cdot b$. Согласно условию, длину увеличили в 2 раза, то есть новая длина стала $2a$. Ширина $b$ осталась без изменений. Найдем новую площадь $S_2$:
$S_2 = (2a) \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b) = 2 \cdot S_1$.
Следовательно, площадь прямоугольника увеличилась в 2 раза.
Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

б) Исходная площадь прямоугольника $S_1 = a \cdot b$. Согласно условию, и длину, и ширину увеличили в 2 раза. Новая длина стала $2a$, а новая ширина – $2b$. Найдем новую площадь $S_2$:
$S_2 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b) = 4 \cdot S_1$.
Следовательно, площадь прямоугольника увеличилась в 4 раза.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

в) Исходная площадь прямоугольника $S_1 = a \cdot b$. Согласно условию, длину увеличили в 2 раза, а ширину – в 3 раза. Новая длина стала $2a$, а новая ширина – $3b$. Найдем новую площадь $S_2$:
$S_2 = (2a) \cdot (3b) = 6 \cdot (a \cdot b) = 6 \cdot S_1$.
Следовательно, площадь прямоугольника увеличилась в 6 раз.
Ответ: площадь увеличится в 6 раз.

493. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить:

а) в 2 раза;

б) в 3 раза;

в) в 10 раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади квадрата. Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$):
$S = a^2$
Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a_1$, а его площадь — $S_1 = a_1^2$.
Если сторону квадрата увеличить в $k$ раз, то новая длина стороны $a_2$ будет равна $k \cdot a_1$.
Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = a_2^2 = (k \cdot a_1)^2 = k^2 \cdot a_1^2$
Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к первоначальной $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{k^2 \cdot a_1^2}{a_1^2} = k^2$
Таким образом, если сторону квадрата увеличить в $k$ раз, его площадь увеличится в $k^2$ раз. Применим это правило для каждого случая.

а)
Сторону увеличили в 2 раза, то есть $k=2$. Площадь увеличится в $k^2$ раз:
$2^2 = 4$
Площадь увеличится в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.

б)
Сторону увеличили в 3 раза, то есть $k=3$. Площадь увеличится в $k^2$ раз:
$3^2 = 9$
Площадь увеличится в 9 раз.
Ответ: в 9 раз.

в)
Сторону увеличили в 10 раз, то есть $k=10$. Площадь увеличится в $k^2$ раз:
$10^2 = 100$
Площадь увеличится в 100 раз.
Ответ: в 100 раз.