Страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

464. Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами:

а) 15 см и 32 см;

б) 15 см и $b$ см;

в) $a$ см и 32 см;

г) $a$ см и $b$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Если длины смежных сторон прямоугольника равны $l$ и $w$, то формула для вычисления периметра выглядит следующим образом:
$P = 2 \cdot (l + w)$.
Используем эту формулу для составления выражений для каждого из предложенных случаев.

а) Стороны прямоугольника равны 15 см и 32 см.
Подставляем данные значения в формулу:
$P = 2 \cdot (15 + 32)$.
Это и есть искомое выражение. Мы также можем вычислить его значение:
$P = 2 \cdot 47 = 94$ (см).
Ответ: $2 \cdot (15 + 32)$.

б) Стороны прямоугольника равны 15 см и $b$ см.
Подставляем данные значения в формулу:
$P = 2 \cdot (15 + b)$.
Ответ: $2 \cdot (15 + b)$.

в) Стороны прямоугольника равны $a$ см и 32 см.
Подставляем данные значения в формулу:
$P = 2 \cdot (a + 32)$.
Ответ: $2 \cdot (a + 32)$.

г) Стороны прямоугольника равны $a$ см и $b$ см.
В этом случае выражение является общей формулой для нахождения периметра прямоугольника:
$P = 2 \cdot (a + b)$.
Ответ: $2 \cdot (a + b)$.

465. Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 37 см, а другая:

а) на 6 см больше;

б) на 8 см меньше.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

По условию, одна из сторон прямоугольника равна 37 см. Обозначим ее как $a = 37$ см.

Найдем длину второй стороны ($b$), которая на 6 см больше первой:

$b = 37 + 6 = 43$ см.

Теперь вычислим периметр прямоугольника:

$P = 2 \cdot (37 + 43) = 2 \cdot 80 = 160$ см.

Ответ: 160 см.

Найдем длину второй стороны ($b$), которая на 8 см меньше первой:

$b = 37 - 8 = 29$ см.

Теперь вычислим периметр прямоугольника:

$P = 2 \cdot (37 + 29) = 2 \cdot 66 = 132$ см.

Ответ: 132 см.

466. Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 26 см, а другая:

а) в 3 раза больше;

б) в 2 раза меньше.

Для нахождения периметра прямоугольника используется формула $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

По условию, одна из сторон равна 26 см. Обозначим ее как $a = 26$ см.

а)

Другая сторона, обозначим ее $b$, в 3 раза больше первой. Найдем ее длину:

$b = 26 \cdot 3 = 78$ см.

Теперь найдем периметр прямоугольника, подставив значения сторон в формулу:

$P = 2(26 + 78) = 2 \cdot 104 = 208$ см.

Ответ: 208 см.

б)

Другая сторона, обозначим ее $b$, в 2 раза меньше первой. Найдем ее длину:

$b = 26 : 2 = 13$ см.

Теперь найдем периметр прямоугольника, подставив значения сторон в формулу:

$P = 2(26 + 13) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.

467. Периметр прямоугольника равен 56 см, одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон ($a$ и $b$). Формула выглядит так:

$P = 2 \times (a + b)$

В условии задачи нам даны:

Периметр $P = 56$ см.

Одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $17$ см.

Нужно найти другую сторону $b$.

Подставим известные значения в формулу периметра:

$56 = 2 \times (17 + b)$

Сначала найдем полупериметр (сумму длин двух смежных сторон), разделив периметр на 2:

$17 + b = 56 / 2$

$17 + b = 28$

Теперь найдем неизвестную сторону $b$, вычтя из полупериметра длину известной стороны:

$b = 28 - 17$

$b = 11$ (см)

Проверим: $P = 2 \times (17 + 11) = 2 \times 28 = 56$ см. Все верно.

Ответ: 11 см.

468. a) Периметр прямоугольника равен 48 см, основание на 4 см больше высоты. Найдите высоту прямоугольника.

б) Периметр прямоугольника равен 54 см, основание на 5 см больше высоты. Найдите большую сторону прямоугольника.

в) Периметр прямоугольника 36 дм, основание на 6 см больше высоты. Найдите стороны прямоугольника.

а)

Пусть высота прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, основание на 4 см больше высоты, значит, основание равно $(x + 4)$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны. Подставим известные значения:

$48 = 2 \cdot (x + (x + 4))$

Решим полученное уравнение:

$48 = 2 \cdot (2x + 4)$

$48 = 4x + 8$

$4x = 48 - 8$

$4x = 40$

$x = \frac{40}{4}$

$x = 10$

Следовательно, высота прямоугольника равна 10 см.

Ответ: 10 см.

б)

Пусть высота прямоугольника равна $x$ см. Тогда его основание, которое на 5 см больше, равно $(x + 5)$ см.

Периметр прямоугольника равен 54 см. Используем формулу периметра $P = 2 \cdot (a + b)$:

$54 = 2 \cdot (x + (x + 5))$

Решим уравнение:

$54 = 2 \cdot (2x + 5)$

$54 = 4x + 10$

$4x = 54 - 10$

$4x = 44$

$x = \frac{44}{4}$

$x = 11$

Высота прямоугольника равна 11 см.

Основание равно $x + 5 = 11 + 5 = 16$ см.

Большая сторона прямоугольника – это основание, равное 16 см.

Ответ: 16 см.

в)

Сначала приведем все единицы измерения к сантиметрам. В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому периметр равен $36 \text{ дм} = 36 \cdot 10 = 360 \text{ см}$.

Пусть высота прямоугольника равна $x$ см. Тогда основание, которое на 6 см больше, равно $(x + 6)$ см.

Составим уравнение, используя формулу периметра $P = 2 \cdot (a + b)$:

$360 = 2 \cdot (x + (x + 6))$

Решим это уравнение:

$360 = 2 \cdot (2x + 6)$

$360 = 4x + 12$

$4x = 360 - 12$

$4x = 348$

$x = \frac{348}{4}$

$x = 87$

Итак, высота прямоугольника равна 87 см.

Найдем основание: $x + 6 = 87 + 6 = 93$ см.

Стороны прямоугольника равны 87 см и 93 см.

Ответ: 87 см и 93 см.

469. Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр.

а) Рис. 96

б) Рис. 95

Рис. 97

Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, его периметр можно найти по формуле, умножив длину одной стороны ($a$) на 4.

Формула для вычисления периметра квадрата:
$P = 4 \times a$

По условию задачи, длина стороны квадрата равна 13 см:
$a = 13$ см

Подставим значение стороны в формулу и выполним вычисление:
$P = 4 \times 13 = 52$ см

Ответ: 52 см.