Страница 101 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

450. a) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника.

б) Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника.

а) Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Периметр любой фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Если обозначить сторону равностороннего треугольника как $a$, то его периметр $P$ можно найти по формуле:
$P = a + a + a = 3 \times a$
По условию задачи, сторона треугольника равна 7 см. Подставим это значение в формулу:
$P = 3 \times 7 \text{ см} = 21 \text{ см}$
Ответ: 21 см.

б) Периметр $P$ равностороннего треугольника связан с его стороной $a$ формулой $P = 3 \times a$. Из этой формулы можно выразить сторону треугольника:
$a = \frac{P}{3}$
По условию задачи, периметр треугольника равен 27 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону:
$a = \frac{27 \text{ см}}{3} = 9 \text{ см}$
Ответ: 9 см.

451. В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон: 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника?

В равнобедренном треугольнике две из трех сторон равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Даны длины двух сторон: 5 см и 6 см. Это означает, что возможны два варианта.

Случай 1: Боковые стороны равны 5 см

В этом случае стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см. Чтобы такой треугольник мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Проверим:

$5 + 5 > 6 \Rightarrow 10 > 6$ (верно)

$5 + 6 > 5 \Rightarrow 11 > 5$ (верно)

Так как неравенство треугольника выполняется, такой треугольник существует. Найдем его периметр $P_1$ как сумму длин всех сторон:

$P_1 = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Случай 2: Боковые стороны равны 6 см

В этом случае стороны треугольника равны 6 см, 6 см и 5 см. Снова проверим неравенство треугольника:

$6 + 6 > 5 \Rightarrow 12 > 5$ (верно)

$6 + 5 > 6 \Rightarrow 11 > 6$ (верно)

Неравенство треугольника выполняется, значит, такой треугольник тоже существует. Его периметр $P_2$ равен:

$P_2 = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 17 \text{ см}$

Таким образом, существуют два возможных значения для периметра треугольника.

Ответ: 16 см или 17 см.

452. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ равен 30 см, а одна из сторон на 3 см больше другой. Какими могут быть стороны треугольника $ABC$?

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ две равные стороны (боковые стороны) имеют длину $a$, а третья сторона (основание) — длину $b$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$.

По условию, периметр равен 30 см, значит, $2a + b = 30$.

Также известно, что одна из сторон на 3 см больше другой. Это означает, что возможны два случая: боковая сторона длиннее основания или основание длиннее боковой стороны.

Случай 1: Боковая сторона на 3 см больше основания.
В этом случае $a = b + 3$. Подставим это выражение в уравнение периметра:
$2(b + 3) + b = 30$
$2b + 6 + b = 30$
$3b = 24$
$b = 8$ см.
Тогда длина боковой стороны равна $a = 8 + 3 = 11$ см.
Стороны треугольника равны 11 см, 11 см и 8 см.
Проверим выполнимость неравенства треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$11 + 11 > 8$ (22 > 8) — верно.
$11 + 8 > 11$ (19 > 11) — верно.
Следовательно, такой треугольник существует.
Ответ: стороны треугольника могут быть 11 см, 11 см и 8 см.

Случай 2: Основание на 3 см больше боковой стороны.
В этом случае $b = a + 3$. Подставим это выражение в уравнение периметра:
$2a + (a + 3) = 30$
$3a + 3 = 30$
$3a = 27$
$a = 9$ см.
Тогда длина основания равна $b = 9 + 3 = 12$ см.
Стороны треугольника равны 9 см, 9 см и 12 см.
Проверим выполнимость неравенства треугольника:
$9 + 9 > 12$ (18 > 12) — верно.
$9 + 12 > 9$ (21 > 9) — верно.
Следовательно, такой треугольник тоже существует.
Ответ: стороны треугольника могут быть 9 см, 9 см и 12 см.

453. a) Верно ли, что если два треугольника равны, то их периметры равны?

б) Верно ли, что если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

а) Да, это утверждение верно.
По определению, два треугольника равны, если их можно совместить наложением. У равных треугольников равны все соответствующие элементы, включая стороны.
Пусть у нас есть два равных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A'B'C' $. Обозначим длины их сторон как $a, b, c$ и $a', b', c'$ соответственно.
Из равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle A'B'C' $ следует равенство их соответствующих сторон: $ a = a' $
$ b = b' $
$ c = c' $
Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Периметр первого треугольника: $ P_{ABC} = a + b + c $.
Периметр второго треугольника: $ P_{A'B'C'} = a' + b' + c' $.
Поскольку соответствующие стороны равны, то, подставив значения, получим: $ P_{A'B'C'} = a + b + c $.
Следовательно, $ P_{ABC} = P_{A'B'C'} $.
Ответ: да, верно.

б) Нет, это утверждение неверно. Если периметры двух треугольников равны, это не означает, что сами треугольники равны.
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример.
Рассмотрим два треугольника:
1. Равносторонний треугольник со сторонами $a_1 = 4$, $b_1 = 4$, $c_1 = 4$.
Его периметр $ P_1 = 4 + 4 + 4 = 12 $.
2. Прямоугольный треугольник со сторонами (катетами и гипотенузой) $a_2 = 3$, $b_2 = 4$, $c_2 = 5$.
Его периметр $ P_2 = 3 + 4 + 5 = 12 $.
Периметры этих треугольников равны ($P_1 = P_2 = 12$). Однако сами треугольники не равны, поскольку их стороны имеют разную длину. Первый треугольник является равносторонним (и остроугольным), а второй — разносторонним и прямоугольным. Их невозможно совместить наложением.
Ответ: нет, неверно.