Страница 94 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

419. Что называют углом, вершиной угла, сторонами угла?

Углом называют геометрическую фигуру, которая образована двумя лучами (сторонами), выходящими из одной точки (вершины). Угол делит плоскость на две части. Величину угла измеряют в градусах или радианах. Например, угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, проходящими через точки $A$ и $B$, обозначают как $\angle AOB$.

Ответ: Углом называют геометрическую фигуру, состоящую из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Вершиной угла называют общую точку, из которой исходят два луча, образующие угол. При обозначении угла тремя буквами, например $\angle ABC$, буква, соответствующая вершине (в данном случае $B$), всегда пишется в середине.

Ответ: Вершиной угла называют общую начальную точку лучей, образующих угол.

Сторонами угла называют два луча, которые образуют угол, имея общее начало в его вершине. Для угла $\angle AOB$ сторонами являются лучи $OA$ и $OB$.

Ответ: Сторонами угла называют лучи, которые выходят из вершины угла и образуют его.

420. а) Какие углы называют равными?

б) Какой угол называют развёрнутым? прямым? острым? тупым?

а) Равными называют углы, которые имеют одинаковую градусную меру. Также, два угла являются равными, если при наложении они полностью совпадают. Ответ:

б) Развёрнутым называют угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Градусная мера развёрнутого угла равна $180^\circ$.
Прямым называют угол, который равен половине развёрнутого угла. Его градусная мера равна $90^\circ$.
Острым называют угол, который меньше прямого угла. Градусная мера острого угла $\alpha$ больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Тупым называют угол, который больше прямого, но меньше развёрнутого. Градусная мера тупого угла $\beta$ больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($90^\circ < \beta < 180^\circ$). Ответ:

Сколько градусов содержит развёрнутый угол, прямой угол?

Развёрнутый угол

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны от вершины. Такой угол представляет собой половину полного оборота. Полный оборот составляет $360$ градусов ($360^\circ$). Следовательно, градусная мера развёрнутого угла равна:

$\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Ответ: 180 градусов.

Прямой угол

Прямой угол — это угол, который равен половине развёрнутого угла. Он также соответствует четверти полного оборота. Зная, что развёрнутый угол содержит $180^\circ$, можно вычислить величину прямого угла:

$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Ответ: 90 градусов.

422. Какие прямые называют перпендикулярными?

Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом.
Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Это означает, что при пересечении двух перпендикулярных прямых образуются четыре прямых угла.
Для обозначения перпендикулярности прямых используется специальный символ $\perp$. Если прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, это записывается как $a \perp b$.

Ответ: Перпендикулярными называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

423. На рисунке 76 изображены углы. Проверьте результаты измерения. Назовите острые, прямые и тупые углы.

Поскольку в задании отсутствует рисунок 76, на который ссылается условие, невозможно дать конкретный ответ для изображенных на нем углов. Ниже представлено общее решение задачи о проверке измерений и классификации углов.

Проверьте результаты измерения

Проверка измерения угла выполняется с помощью специального инструмента — транспортира. Порядок действий следующий:
1. Совместите вершину измеряемого угла с центром транспортира.
2. Расположите одну из сторон угла так, чтобы она проходила через нулевую отметку на шкале транспортира ($0^\circ$).
3. Вторая сторона угла укажет на его точную градусную меру на шкале транспортира.
После проведения собственного измерения можно сравнить полученный результат с данными в задаче и сделать вывод об их правильности. Так как ни рисунок, ни результаты измерений не предоставлены, выполнить эту часть задания невозможно.

Ответ: Для проверки результатов измерения углов необходимо использовать транспортир. Без рисунка 76 и указанных на нем результатов измерений сделать это невозможно.

Назовите острые, прямые и тупые углы

Для того чтобы классифицировать углы, то есть назвать, какие из них являются острыми, прямыми или тупыми, необходимо знать их градусную меру. В геометрии приняты следующие определения:
• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$. На чертежах такой угол часто обозначается маленьким квадратом в вершине.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
Таким образом, для выполнения задания нужно измерить каждый угол, изображенный на рисунке 76, и, в зависимости от полученного значения, отнести его к одной из этих трех категорий.

Ответ: Острые углы — это углы, величина которых меньше $90^\circ$. Прямые углы — это углы, равные $90^\circ$. Тупые углы — это углы, которые больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Классифицировать конкретные углы с рисунка 76 невозможно, так как рисунок отсутствует.

424. С помощью транспортира измерьте углы на рисунке 77 и сделайте в тетради соответствующие записи.

Для измерения углов, изображенных на рисунке, используется транспортир. Чтобы найти градусную меру угла, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Совместить вершину измеряемого угла с центром транспортира.
2. Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила через отметку «0» на шкале.
3. Вторая сторона угла укажет на его градусную меру на той же шкале.

Применив этот метод к углам на рисунке 77, получаем следующие результаты.

Угол (hk)

Измерение показывает, что градусная мера этого угла составляет 45 градусов. Так как его величина меньше $90^\circ$, этот угол является острым.

В тетради следует сделать запись: $\angle(hk) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Угол (ab)

Измерение показывает, что градусная мера этого угла составляет 135 градусов. Так как его величина больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, этот угол является тупым.

В тетради следует сделать запись: $\angle(ab) = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

Угол (mn)

Измерение показывает, что градусная мера этого угла составляет 90 градусов. Этот угол является прямым.

В тетради следует сделать запись: $\angle(mn) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Угол (cd)

Измерение показывает, что градусная мера этого угла составляет 180 градусов. Этот угол является развернутым.

В тетради следует сделать запись: $\angle(cd) = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

425. С помощью транспортира постройте углы, равные: $90^\circ$; $50^\circ$; $30^\circ$; $60^\circ$; $100^\circ$; $95^\circ$; $105^\circ$; $45^\circ$; $135^\circ$; $15^\circ$.

Рис. 75

а) $\angle MNK = 70^\circ$

$\angle PQR = 90^\circ$

$\angle DEF = 120^\circ$

б) $\angle ABC = 38^\circ$

$\angle XYZ = 90^\circ$

$\angle GOH = 135^\circ$

Рис. 76

Рис. 77

Для построения угла заданной величины с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить на бумаге луч, например, $OA$. Точка $O$ будет вершиной будущего угла, а луч $OA$ — одной из его сторон.
2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$ (вершиной угла), а его прямая часть (основание) прошла вдоль луча $OA$, при этом отметка $0°$ на шкале должна находиться на луче.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее заданной величине угла. Выбрать нужно ту шкалу (внутреннюю или внешнюю), которая начинается с $0°$ на луче $OA$. Поставить точку (назовем ее $B$) напротив этого деления.
4. Убрать транспортир и с помощью линейки провести второй луч $OB$ из вершины $O$ через поставленную точку $B$.
5. Полученный угол $\angle AOB$ будет искомым углом с заданной градусной мерой.

Ниже приведено пошаговое описание построения для каждого из заданных углов.

Построение угла $90°$

Для построения угла в $90°$ (прямого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $O$. Обозначим его $OK$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $O$ так, чтобы луч $OK$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале транспортира отметку $90°$ и ставим рядом с ней точку $M$.
4. Проводим луч $OM$.

Полученный угол $\angle MOK$ равен $90°$.

Ответ: Угол $90°$ построен.

Построение угла $50°$

Для построения угла в $50°$ (острого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $A$. Обозначим его $AB$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $A$ так, чтобы луч $AB$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на соответствующей шкале отметку $50°$ и ставим точку $C$.
4. Проводим луч $AC$.

Полученный угол $\angle CAB$ равен $50°$.

Ответ: Угол $50°$ построен.

Построение угла $30°$

Для построения угла в $30°$ (острого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $D$. Обозначим его $DE$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $D$ так, чтобы луч $DE$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $30°$ и ставим точку $F$.
4. Проводим луч $DF$.

Полученный угол $\angle FDE$ равен $30°$.

Ответ: Угол $30°$ построен.

Построение угла $60°$

Для построения угла в $60°$ (острого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $G$. Обозначим его $GH$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $G$ так, чтобы луч $GH$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $60°$ и ставим точку $I$.
4. Проводим луч $GI$.

Полученный угол $\angle IGH$ равен $60°$.

Ответ: Угол $60°$ построен.

Построение угла $100°$

Для построения угла в $100°$ (тупого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $J$. Обозначим его $JK$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $J$ так, чтобы луч $JK$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $100°$ и ставим точку $L$.
4. Проводим луч $JL$.

Полученный угол $\angle LJK$ равен $100°$.

Ответ: Угол $100°$ построен.

Построение угла $95°$

Для построения угла в $95°$ (тупого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $M$. Обозначим его $MN$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $M$ так, чтобы луч $MN$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $95°$ и ставим точку $P$.
4. Проводим луч $MP$.

Полученный угол $\angle PMN$ равен $95°$.

Ответ: Угол $95°$ построен.

Построение угла $105°$

Для построения угла в $105°$ (тупого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $Q$. Обозначим его $QR$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $Q$ так, чтобы луч $QR$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $105°$ и ставим точку $S$.
4. Проводим луч $QS$.

Полученный угол $\angle SQR$ равен $105°$.

Ответ: Угол $105°$ построен.

Построение угла $45°$

Для построения угла в $45°$ (острого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $T$. Обозначим его $TU$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $T$ так, чтобы луч $TU$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $45°$ и ставим точку $V$.
4. Проводим луч $TV$.

Полученный угол $\angle VTU$ равен $45°$.

Ответ: Угол $45°$ построен.

Построение угла $135°$

Для построения угла в $135°$ (тупого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $W$. Обозначим его $WX$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $W$ так, чтобы луч $WX$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $135°$ и ставим точку $Y$.
4. Проводим луч $WY$.

Полученный угол $\angle YWX$ равен $135°$.

Ответ: Угол $135°$ построен.

Построение угла $15°$

Для построения угла в $15°$ (острого угла):

1. Чертим луч с началом в точке $Z$. Обозначим его $ZA$.
2. Прикладываем транспортир центром к точке $Z$ так, чтобы луч $ZA$ совпал с отметкой $0°$.
3. Находим на шкале отметку $15°$ и ставим точку $B$.
4. Проводим луч $ZB$.

Полученный угол $\angle BZA$ равен $15°$.

Ответ: Угол $15°$ построен.