Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

416. На отрезке $AB$ отметьте точку $C$.

а) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AC$ и с центром $B$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $C$. Говорят, что они касаются внешним образом.

б) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AB$ и с центром $C$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $B$. Говорят, что они касаются внутренним образом.

Для решения задачи сначала построим отрезок AB и отметим на нем произвольную точку C между A и B.

а)

1. Построим первую окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AC. Обозначим этот радиус $R_1 = AC$. По определению окружности, все ее точки удалены от центра A на расстояние $R_1$. Точка C принадлежит этой окружности, так как расстояние от A до C равно $AC$.

2. Построим вторую окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка CB. Обозначим этот радиус $R_2 = CB$. Точка C также принадлежит этой окружности, так как расстояние от B до C равно $CB$.

Таким образом, точка C является общей точкой для обеих окружностей.

Расстояние между центрами окружностей (точками A и B) равно длине отрезка AB. Поскольку точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + CB$.

Подставляя значения радиусов, получаем, что расстояние между центрами $d = AB$ равно сумме радиусов $R_1 + R_2$.

$d = AB = AC + CB = R_1 + R_2$

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют только одну общую точку и касаются внешним образом. В нашем случае эта общая точка — C.

Ответ: Построенные окружности с центрами A и B и радиусами AC и CB соответственно касаются внешним образом в единственной общей точке C.

б)

1. Построим первую (большую) окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB. Обозначим этот радиус $R_3 = AB$. Точка B принадлежит этой окружности, так как ее расстояние от центра A равно $AB$.

2. Построим вторую (меньшую) окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка CB. Обозначим этот радиус $R_4 = CB$. Точка B также принадлежит этой окружности, так как ее расстояние от центра C равно $CB$.

Таким образом, точка B является общей точкой для обеих окружностей.

Расстояние между центрами этих окружностей (точками A и C) равно длине отрезка AC.

Поскольку точка C лежит на отрезке AB, мы можем выразить длину AC через AB и CB: $AC = AB - CB$.

Подставляя значения радиусов, получаем, что расстояние между центрами $d = AC$ равно разности радиусов $R_3 - R_4$.

$d = AC = AB - CB = R_3 - R_4$

Если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов, то окружности имеют только одну общую точку и касаются внутренним образом. В нашем случае эта общая точка — B.

Ответ: Построенные окружности с центрами A и C и радиусами AB и CB соответственно касаются внутренним образом в единственной общей точке B.

417. Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см, касающиеся:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

а) внешним образом

Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку и лежат вне друг друга. Расстояние между центрами таких окружностей равно сумме их радиусов.

Пусть радиус первой окружности $r_1 = 3$ см, а радиус второй окружности $r_2 = 4$ см. Обозначим их центры как $O_1$ и $O_2$.

1. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей. Оно равно сумме радиусов:$d = r_1 + r_2 = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. С помощью линейки построим отрезок $O_1O_2$ длиной 7 см.

3. Установим раствор циркуля равным 3 см. Поставив ножку циркуля в точку $O_1$, построим окружность.

4. Установим раствор циркуля равным 4 см. Поставив ножку циркуля в точку $O_2$, построим вторую окружность.

Полученные окружности будут касаться друг друга в одной точке, которая лежит на отрезке, соединяющем их центры $O_1O_2$.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внешним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии 7 см друг от друга.

б) внутренним образом

Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку и одна окружность находится внутри другой. Расстояние между центрами таких окружностей равно разности их радиусов (большего и меньшего).

Пусть радиус большей окружности $R = 4$ см, а радиус меньшей окружности $r = 3$ см. Обозначим их центры как $O_1$ и $O_2$.

1. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей. Оно равно разности радиусов:$d = R - r = 4 \text{ см} - 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

2. Выберем точку $O_1$ и построим окружность с центром в этой точке и радиусом $R = 4$ см.

3. Проведем любой радиус построенной окружности, например $O_1A$.

4. На этом радиусе отложим от центра $O_1$ отрезок $O_1O_2$ длиной 1 см. Точка $O_2$ будет центром второй (меньшей) окружности.

5. Установим раствор циркуля равным 3 см. Поставив ножку циркуля в точку $O_2$, построим вторую окружность.

Полученные окружности будут касаться в точке $A$, так как точка $A$ лежит на обеих окружностях: она удалена от центра $O_1$ на 4 см (по построению) и от центра $O_2$ на $O_1A - O_1O_2 = 4 - 1 = 3$ см.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внутренним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии 1 см друг от друга.

418. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке $AB$ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Задача состоит из двух частей: построение двух касающихся окружностей и затем построение третьей окружности, касающейся первых двух. Решим их последовательно.

Постройте две окружности с центрами А и В и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом.

Пусть первая окружность имеет центр в точке $А$ и радиус $R_А = 3$ см, а вторая окружность — центр в точке $В$ и радиус $R_В = 5$ см.
Условие внешнего касания двух окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Таким образом, расстояние между точками $А$ и $В$ должно быть:
$|АВ| = R_А + R_В$
Подставим числовые значения:
$|АВ| = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Алгоритм построения:

1. Выбираем на плоскости произвольную точку $А$.
2. Строим отрезок $АВ$ длиной 8 см. Точка $В$ будет центром второй окружности.
3. С центром в точке $А$ строим окружность радиусом 3 см.
4. С центром в точке $В$ строим окружность радиусом 5 см.

Построенные окружности будут касаться друг друга внешним образом в точке, лежащей на отрезке $АВ$.

Ответ: Для построения двух окружностей, касающихся внешним образом, их центры $А$ и $В$ должны находиться на расстоянии 8 см друг от друга.

Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке АВ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Пусть третья окружность имеет центр в точке $О$ и радиус $R_О$.
Из условия задачи нам известно:

1. Центр $О$ лежит на отрезке $АВ$.
2. Третья окружность касается первой окружности (с центром $А$) внутренним образом.
3. Третья окружность касается второй окружности (с центром $В$) внутренним образом.

Условие внутреннего касания окружностей означает, что расстояние между их центрами равно разности их радиусов (большего и меньшего). Так как третья окружность касается обеих первых окружностей внутренним образом, она должна быть больше каждой из них, то есть $R_О > R_А$ и $R_О > R_В$.
Из условия 2 следует, что расстояние между центрами $А$ и $О$ равно:
$|АО| = R_О - R_А$
Из условия 3 следует, что расстояние между центрами $В$ и $О$ равно:
$|ВО| = R_О - R_В$
Так как точка $О$ по условию 1 лежит на отрезке $АВ$, то сумма длин отрезков $АО$ и $ВО$ равна длине отрезка $АВ$:
$|АО| + |ВО| = |АВ|$
Подставим в это равенство выражения для $|АО|$ и $|ВО|$, а также известное значение $|АВ| = 8$ см:
$(R_О - R_А) + (R_О - R_В) = R_А + R_В$
$2R_О - (R_А + R_В) = R_А + R_В$
$2R_О = 2(R_А + R_В)$
$R_О = R_А + R_В = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Теперь найдем точное положение центра $О$ на отрезке $АВ$:
$|АО| = R_О - R_А = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
$|ВО| = R_О - R_В = 8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
(Проверка: $|АО| + |ВО| = 5 + 3 = 8$ см, что совпадает с $|АВ|$).
Алгоритм построения:

1. На построенном в первой части отрезке $АВ$ отмечаем точку $О$ на расстоянии 5 см от точки $А$ (или 3 см от точки $В$).
2. С центром в точке $О$ строим окружность радиусом $R_О = 8$ см.

Ответ: Центр третьей окружности, точка $О$, находится на отрезке $АВ$ на расстоянии 5 см от точки $А$. Радиус этой окружности равен 8 см.