Номер 416, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

416. На отрезке $AB$ отметьте точку $C$.

а) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AC$ и с центром $B$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $C$. Говорят, что они касаются внешним образом.

б) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AB$ и с центром $C$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $B$. Говорят, что они касаются внутренним образом.

Для решения задачи сначала построим отрезок AB и отметим на нем произвольную точку C между A и B.

а)

1. Построим первую окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AC. Обозначим этот радиус $R_1 = AC$. По определению окружности, все ее точки удалены от центра A на расстояние $R_1$. Точка C принадлежит этой окружности, так как расстояние от A до C равно $AC$.

2. Построим вторую окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка CB. Обозначим этот радиус $R_2 = CB$. Точка C также принадлежит этой окружности, так как расстояние от B до C равно $CB$.

Таким образом, точка C является общей точкой для обеих окружностей.

Расстояние между центрами окружностей (точками A и B) равно длине отрезка AB. Поскольку точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + CB$.

Подставляя значения радиусов, получаем, что расстояние между центрами $d = AB$ равно сумме радиусов $R_1 + R_2$.

$d = AB = AC + CB = R_1 + R_2$

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют только одну общую точку и касаются внешним образом. В нашем случае эта общая точка — C.

Ответ: Построенные окружности с центрами A и B и радиусами AC и CB соответственно касаются внешним образом в единственной общей точке C.

б)

1. Построим первую (большую) окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB. Обозначим этот радиус $R_3 = AB$. Точка B принадлежит этой окружности, так как ее расстояние от центра A равно $AB$.

2. Построим вторую (меньшую) окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка CB. Обозначим этот радиус $R_4 = CB$. Точка B также принадлежит этой окружности, так как ее расстояние от центра C равно $CB$.

Таким образом, точка B является общей точкой для обеих окружностей.

Расстояние между центрами этих окружностей (точками A и C) равно длине отрезка AC.

Поскольку точка C лежит на отрезке AB, мы можем выразить длину AC через AB и CB: $AC = AB - CB$.

Подставляя значения радиусов, получаем, что расстояние между центрами $d = AC$ равно разности радиусов $R_3 - R_4$.

$d = AC = AB - CB = R_3 - R_4$

Если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов, то окружности имеют только одну общую точку и касаются внутренним образом. В нашем случае эта общая точка — B.

Ответ: Построенные окружности с центрами A и C и радиусами AB и CB соответственно касаются внутренним образом в единственной общей точке B.