Номер 415, страница 91 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

415. Дан отрезок $AB$. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусом $AB$. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами $M$ и $N$. Постройте отрезки $AM, AN, BM, BN$. Равны ли отрезки $AB, AM, AN, BM$ и $BN$? Убедитесь, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Равны ли отрезки AB, AM, AN, BM и BN?

По условию задачи мы строим две окружности.

Первая окружность имеет центр в точке $A$ и радиус, равный длине отрезка $AB$. Точки $M$ и $N$ лежат на этой окружности, поскольку они являются точками пересечения. По определению окружности, расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу. Следовательно, длины отрезков $AM$ и $AN$ равны радиусу окружности: $AM = AB$ и $AN = AB$.

Вторая окружность имеет центр в точке $B$ и также радиус, равный длине отрезка $AB$. Точки $M$ и $N$ лежат и на этой окружности. Следовательно, длины отрезков $BM$ и $BN$ также равны радиусу: $BM = AB$ и $BN = AB$.

Объединив эти равенства, мы получаем, что все пять отрезков равны между собой: $AB = AM = AN = BM = BN$.

Ответ: Да, все отрезки равны.

Убедитесь, что прямая MN делит отрезок AB пополам.

Чтобы доказать, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам, мы воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$.
- Сторона $AM$ равна стороне $BM$ (из предыдущего пункта, обе равны $AB$).
- Сторона $AN$ равна стороне $BN$ (из предыдущего пункта, обе равны $AB$).
- Сторона $MN$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle AMN = \angle BMN$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$.
- Сторона $AM$ равна стороне $BM$ (доказано ранее).
- Угол $\angle AMO$ равен углу $\angle BMO$ (так как это те же углы, что и $\angle AMN$ и $\angle BMN$).
- Сторона $MO$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle AMO = \triangle BMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AO = BO$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$ и делит его на два равных отрезка ($AO=BO$), она является серединой отрезка $AB$. Так как прямая $MN$ проходит через точку $O$, это означает, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Ответ: Прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам, что доказано через равенство треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$, из которого следует, что точка их пересечения $O$ является серединой отрезка $AB$.