Номер 418, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

418. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке $AB$ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Задача состоит из двух частей: построение двух касающихся окружностей и затем построение третьей окружности, касающейся первых двух. Решим их последовательно.

Постройте две окружности с центрами А и В и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом.

Пусть первая окружность имеет центр в точке $А$ и радиус $R_А = 3$ см, а вторая окружность — центр в точке $В$ и радиус $R_В = 5$ см.
Условие внешнего касания двух окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Таким образом, расстояние между точками $А$ и $В$ должно быть:
$|АВ| = R_А + R_В$
Подставим числовые значения:
$|АВ| = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Алгоритм построения:

1. Выбираем на плоскости произвольную точку $А$.
2. Строим отрезок $АВ$ длиной 8 см. Точка $В$ будет центром второй окружности.
3. С центром в точке $А$ строим окружность радиусом 3 см.
4. С центром в точке $В$ строим окружность радиусом 5 см.

Построенные окружности будут касаться друг друга внешним образом в точке, лежащей на отрезке $АВ$.

Ответ: Для построения двух окружностей, касающихся внешним образом, их центры $А$ и $В$ должны находиться на расстоянии 8 см друг от друга.

Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке АВ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Пусть третья окружность имеет центр в точке $О$ и радиус $R_О$.
Из условия задачи нам известно:

1. Центр $О$ лежит на отрезке $АВ$.
2. Третья окружность касается первой окружности (с центром $А$) внутренним образом.
3. Третья окружность касается второй окружности (с центром $В$) внутренним образом.

Условие внутреннего касания окружностей означает, что расстояние между их центрами равно разности их радиусов (большего и меньшего). Так как третья окружность касается обеих первых окружностей внутренним образом, она должна быть больше каждой из них, то есть $R_О > R_А$ и $R_О > R_В$.
Из условия 2 следует, что расстояние между центрами $А$ и $О$ равно:
$|АО| = R_О - R_А$
Из условия 3 следует, что расстояние между центрами $В$ и $О$ равно:
$|ВО| = R_О - R_В$
Так как точка $О$ по условию 1 лежит на отрезке $АВ$, то сумма длин отрезков $АО$ и $ВО$ равна длине отрезка $АВ$:
$|АО| + |ВО| = |АВ|$
Подставим в это равенство выражения для $|АО|$ и $|ВО|$, а также известное значение $|АВ| = 8$ см:
$(R_О - R_А) + (R_О - R_В) = R_А + R_В$
$2R_О - (R_А + R_В) = R_А + R_В$
$2R_О = 2(R_А + R_В)$
$R_О = R_А + R_В = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Теперь найдем точное положение центра $О$ на отрезке $АВ$:
$|АО| = R_О - R_А = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
$|ВО| = R_О - R_В = 8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
(Проверка: $|АО| + |ВО| = 5 + 3 = 8$ см, что совпадает с $|АВ|$).
Алгоритм построения:

1. На построенном в первой части отрезке $АВ$ отмечаем точку $О$ на расстоянии 5 см от точки $А$ (или 3 см от точки $В$).
2. С центром в точке $О$ строим окружность радиусом $R_О = 8$ см.

Ответ: Центр третьей окружности, точка $О$, находится на отрезке $АВ$ на расстоянии 5 см от точки $А$. Радиус этой окружности равен 8 см.