Страница 91 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

408. Начертите окружность, радиус которой равен отрезку $AB$ (рис.65).

Чтобы начертить окружность, радиус которой равен отрезку $AB$, необходимо выполнить следующие действия с помощью циркуля и линейки (для отметки центра):

1. Возьмите циркуль. Установите его иголку в точку $A$ на отрезке $AB$, а ножку с грифелем — в точку $B$. Теперь расстояние между ножками циркуля (его раствор) равно длине отрезка $AB$.

2. Выберите на плоскости любое место для центра будущей окружности и отметьте его точкой. Назовем эту точку $O$.

3. Не меняя раствор циркуля, который вы установили в первом шаге, поставьте иголку циркуля в центр $O$.

4. Проведите замкнутую линию, вращая ножку с грифелем вокруг центра $O$.

В результате этих действий будет построена окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который по длине равен отрезку $AB$. Математически это можно записать как $R = |AB|$.

Ответ:

Нужно установить раствор циркуля равным длине отрезка $AB$, выбрать на плоскости произвольную точку $O$ (центр) и, установив в нее иглу циркуля, провести окружность.

409. На окружности с центром $O$ и радиусом $2 \text{ см}$ отметьте точку $A$. Постройте окружность с центром $A$ и радиусом $2 \text{ см}$. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой $B$ (рис. 66). С помощью циркуля от точки $B$ отметьте дуги, равные дуге $AB$. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$. Рис. 65

Для решения задачи выполним описанные в ней построения и дадим им геометрическое обоснование.

Сначала построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 2$ см. На этой окружности отметим произвольную точку $A$. Затем построим вторую окружность с центром в точке $A$ и таким же радиусом $R' = 2$ см. Одну из точек пересечения этих двух окружностей обозначим буквой $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный центрами окружностей $O$, $A$ и точкой их пересечения $B$.

• Отрезок $OA$ соединяет центр первой окружности с точкой $A$ на ней. Следовательно, $OA$ является радиусом, и его длина $OA = 2$ см.
• Отрезок $OB$ соединяет центр первой окружности $O$ с точкой $B$ на ней. Следовательно, $OB$ также является радиусом, и его длина $OB = 2$ см.
• Отрезок $AB$ соединяет центр второй окружности $A$ с точкой $B$ на ней. Следовательно, $AB$ является радиусом второй окружности, и его длина $AB = 2$ см.

Таким образом, все три стороны треугольника $\triangle OAB$ равны между собой: $OA = OB = AB = 2$ см. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на хорду $AB$ в первой окружности (с центром $O$), равен $60^\circ$.

Далее, по условию, необходимо с помощью циркуля от точки $B$ отложить дуги, равные дуге $AB$. При построении с помощью циркуля "отложить дугу, равную дуге $AB$" означает отложить хорду, равную по длине хорде $AB$. Мы уже установили, что длина хорды $AB$ равна радиусу окружности.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы последовательно откладывать на окружности хорды, равные ее радиусу. Каждая такая хорда стягивает дугу, которой соответствует центральный угол в $60^\circ$.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Чтобы определить, сколько раз хорда, равная радиусу, уложится по всей окружности, разделим полный угол на центральный угол, соответствующий одной такой хорде: $$ \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6 $$

Результат показывает, что ровно шесть таких хорд (и соответствующих им дуг) составляют полную окружность. Если мы начнем с точки $A$ и последовательно отложим шесть таких дуг (первая из которых $AB$), то мы совершим полный оборот и вернемся в исходную точку $A$. Конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадет с точкой $A$.

Ответ: Утверждение в задаче верно. Построение приводит к тому, что хорда $AB$ равна радиусу окружности ($2$ см). Хорда, равная радиусу, стягивает центральный угол в $60^\circ$. Поскольку полный угол составляет $360^\circ$, то по окружности можно отложить ровно $360 / 60 = 6$ таких хорд. Следовательно, отложив последовательно шесть дуг, начиная от точки $A$, мы вернемся в эту же точку $A$.

410. С помощью циркуля выполните рисунок 67 на альбомном листе, раскрасьте его цветными карандашами или фломастерами.

В задании указано выполнить "рисунок 67", который не представлен на изображении. В таких случаях обычно требуется начертить с помощью циркуля симметричный геометрический узор. Ниже приведено пошаговое руководство по созданию одного из самых распространенных и красивых узоров, который можно построить с помощью циркуля, – "цветка с шестью лепестками".

Построение рисунка

Для работы вам понадобятся альбомный лист, простой карандаш, циркуль, ластик, а также цветные карандаши или фломастеры.

1. Выберите на листе бумаги центральную точку будущего рисунка и отметьте её карандашом. Обозначим эту точку как O.
2. Установите на циркуле произвольный, но удобный для работы раствор (радиус). Например, 4-5 см. Зафиксируйте этот радиус, он не должен меняться до конца построения. Обозначим его как $R$.
3. Поставьте иглу циркуля в точку O и начертите окружность. Это будет основа нашего узора.
4. Выберите любую точку на начерченной окружности. Поставьте на ней отметку и обозначьте как A.
5. Не меняя раствор циркуля ($R$), установите иглу в точку A и проведите дугу так, чтобы она пересекла окружность в двух местах. Обратите внимание, что эта дуга должна пройти точно через центр O.
6. Выберите одну из новых точек пересечения дуги с окружностью. Установите в неё иглу циркуля и снова проведите дугу с тем же радиусом $R$.
7. Продолжайте этот процесс: последовательно перемещайте иглу циркуля в каждую новую точку пересечения на основной окружности и чертите дугу. Сделав 6 таких построений, вы вернетесь в исходную точку A.

В результате у вас внутри окружности появится симметричный узор, напоминающий цветок с шестью лепестками.

Раскрашивание

Теперь, когда основа рисунка готова, можно приступить к самой творческой части — раскрашиванию. Вот несколько идей:

• Раскрасьте каждый из шести "лепестков" разным цветом, создав радужный узор.
• Используйте чередование двух или трех цветов для создания ритмичного орнамента.
• Выделите цветом не только сами лепестки, но и маленькие фигурки, образовавшиеся в результате пересечения дуг в центре и по краям.
• Создайте плавные переходы цвета (градиент) внутри каждого элемента узора.

Дайте волю своей фантазии, чтобы сделать рисунок ярким и неповторимым. После завершения раскрашивания можно обвести основные линии черной ручкой или тонким фломастером для большей выразительности.

Ответ: Выполненный по инструкции на альбомном листе и раскрашенный рисунок представляет собой симметричный геометрический орнамент, состоящий из основной окружности и шести вписанных в неё пересекающихся дуг, образующих узор в виде цветка.

411. На рисунке 68 показан цветок, построенный с помощью циркуля.

Рис. 66

а) Объясните, как этот рисунок получен из рисунка 67.

б) Придумайте свой рисунок цветка.

Выполните его на альбомном листе и раскрасьте цветными карандашами или фломастерами.

а) Данный рисунок является классическим примером геометрического построения с помощью циркуля и называется «Семя Жизни». Предположительно, на рисунке 67, который не показан, была изображена исходная окружность, с которой начинается построение. Чтобы получить цветок, нужно выполнить следующие действия:

1. Начертить окружность с центром в точке $O$ и произвольным радиусом $R$.
2. Не меняя раствор циркуля (то есть сохраняя радиус $R$), выбрать любую точку $A$ на построенной окружности и установить в нее иглу циркуля.
3. Начертить вторую окружность. Она пройдет через центр $O$ первой окружности и пересечет ее в двух новых точках.
4. Выбрать любую из этих двух точек пересечения в качестве центра для следующей окружности и начертить ее тем же радиусом $R$.
5. Повторять это действие, каждый раз используя новую точку пересечения на центральной окружности в качестве центра для следующей окружности, пока не будет построено 6 окружностей, «окружающих» центральную.

В результате пересечения семи окружностей одинакового радиуса образуется симметричный узор, который выглядит как цветок с шестью лепестками, вписанный в центральную окружность.
Ответ: Рисунок получен путем построения шести идентичных окружностей, центры которых расположены на седьмой (центральной) окружности такого же радиуса. Каждый новый центр является точкой пересечения предыдущей построенной окружности с центральной.

б) В качестве собственного рисунка цветка можно развить и усложнить исходный узор, добавив второй ряд «лепестков». Такой рисунок будет выглядеть еще более впечатляюще и также строится только с помощью циркуля.

1. Сначала нужно полностью построить цветок с шестью лепестками, как описано в пункте а).
2. В полученном узоре есть шесть внешних точек, где пересекаются дуги соседних «лепестков» (окружающих окружностей).
3. Сохраняя исходный радиус $R$ на циркуле, нужно установить иглу в одну из этих внешних точек и начертить еще одну окружность.
4. Этот шаг повторяется для всех шести внешних точек пересечения.
5. В результате вокруг центрального цветка образуется второй, внешний слой лепестков, создавая более сложный и многогранный орнамент.
6. После завершения геометрического построения рисунок можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами, выделяя различные элементы узора для придания ему яркости и индивидуальности.

Ответ: В качестве собственного рисунка можно предложить усложнённый вариант исходного цветка, достроив второй ряд из шести окружностей. Центрами для них служат внешние точки пересечения «лепестков» первого цветка. Получившийся орнамент затем раскрашивается.

412. Внутри или вне окружности расположены точки, удалённые от её центра на расстояние:

а) большее её радиуса;

б) меньшее её радиуса?

а) большее её радиуса;

По определению, окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром. Это расстояние называется радиусом окружности. Обозначим радиус буквой $R$.

Все точки, расстояние $d$ от которых до центра больше радиуса ($d > R$), находятся за пределами окружности.

Таким образом, если точка удалена от центра на расстояние, большее её радиуса, она расположена вне окружности.

Ответ: вне окружности.

б) меньшее её радиуса?

Область плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Точки, лежащие внутри окружности, — это точки, расстояние $d$ от которых до центра меньше радиуса ($d < R$).

Следовательно, если точка удалена от центра на расстояние, меньшее её радиуса, она расположена внутри окружности.

Ответ: внутри окружности.

413. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5 см. Постройте точку, удалённую от точки $A$ на расстояние 4 см, а от точки $B$ — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить?

Построение искомой точки

Задача сводится к нахождению точек пересечения двух окружностей. Множество всех точек, удалённых от точки $A$ на 4 см, образует окружность с центром в $A$ и радиусом $R_A = 4$ см. Множество всех точек, удалённых от точки $B$ на 3 см, образует окружность с центром в $B$ и радиусом $R_B = 3$ см. Искомая точка должна удовлетворять обоим условиям, следовательно, она является точкой пересечения этих двух окружностей.
Для построения сначала чертим отрезок $AB$ длиной 5 см. Затем с помощью циркуля проводим дугу окружности с центром в $A$ и радиусом 4 см, и вторую дугу с центром в $B$ и радиусом 3 см. Точки, в которых эти дуги пересекутся, и будут искомыми.

Количество таких точек

Чтобы определить, сколько таких точек существует, нужно проверить, пересекаются ли построенные окружности. Две окружности с центрами на расстоянии $d$ и радиусами $R_A$ и $R_B$ пересекаются в двух точках, если выполняется неравенство треугольника для их радиусов и расстояния между центрами: $|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$.
В нашем случае дано: $d = AB = 5$ см, $R_A = 4$ см, $R_B = 3$ см.
Подставляем значения в неравенство:
$|4 - 3| < 5 < 4 + 3$
$1 < 5 < 7$
Это неравенство верно, значит, окружности пересекаются в двух различных точках. Следовательно, существуют две точки, удовлетворяющие условию задачи.
Интересно отметить, что для сторон получившегося треугольника $ABC$ (где $C$ — искомая точка) выполняется теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, и $AB^2 = 5^2 = 25$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а искомые точки являются вершинами прямых углов, расположенными симметрично относительно отрезка $AB$.

Ответ: можно построить 2 точки.

414. Внутри или вне сферы расположены точки, удалённые от её центра на расстояние:

а) большее её радиуса;

б) меньшее её радиуса?

а) Сфера представляет собой поверхность, все точки которой равноудалены от центра на расстояние, равное радиусу ($R$). Точки, расстояние ($d$) от которых до центра больше радиуса ($d > R$), по определению находятся за этой поверхностью. Следовательно, они расположены вне сферы.
Ответ: вне сферы.

б) Точки, расстояние ($d$) от которых до центра меньше радиуса ($d < R$), находятся внутри поверхности, которую образует сфера. Таким образом, эти точки расположены внутри сферы.
Ответ: внутри сферы.

415. Дан отрезок $AB$. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусом $AB$. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами $M$ и $N$. Постройте отрезки $AM, AN, BM, BN$. Равны ли отрезки $AB, AM, AN, BM$ и $BN$? Убедитесь, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Равны ли отрезки AB, AM, AN, BM и BN?

По условию задачи мы строим две окружности.

Первая окружность имеет центр в точке $A$ и радиус, равный длине отрезка $AB$. Точки $M$ и $N$ лежат на этой окружности, поскольку они являются точками пересечения. По определению окружности, расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу. Следовательно, длины отрезков $AM$ и $AN$ равны радиусу окружности: $AM = AB$ и $AN = AB$.

Вторая окружность имеет центр в точке $B$ и также радиус, равный длине отрезка $AB$. Точки $M$ и $N$ лежат и на этой окружности. Следовательно, длины отрезков $BM$ и $BN$ также равны радиусу: $BM = AB$ и $BN = AB$.

Объединив эти равенства, мы получаем, что все пять отрезков равны между собой: $AB = AM = AN = BM = BN$.

Ответ: Да, все отрезки равны.

Убедитесь, что прямая MN делит отрезок AB пополам.

Чтобы доказать, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам, мы воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$.
- Сторона $AM$ равна стороне $BM$ (из предыдущего пункта, обе равны $AB$).
- Сторона $AN$ равна стороне $BN$ (из предыдущего пункта, обе равны $AB$).
- Сторона $MN$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle AMN = \angle BMN$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$.
- Сторона $AM$ равна стороне $BM$ (доказано ранее).
- Угол $\angle AMO$ равен углу $\angle BMO$ (так как это те же углы, что и $\angle AMN$ и $\angle BMN$).
- Сторона $MO$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle AMO = \triangle BMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AO = BO$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$ и делит его на два равных отрезка ($AO=BO$), она является серединой отрезка $AB$. Так как прямая $MN$ проходит через точку $O$, это означает, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Ответ: Прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам, что доказано через равенство треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$, из которого следует, что точка их пересечения $O$ является серединой отрезка $AB$.