Номер 409, страница 91 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

409. На окружности с центром $O$ и радиусом $2 \text{ см}$ отметьте точку $A$. Постройте окружность с центром $A$ и радиусом $2 \text{ см}$. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой $B$ (рис. 66). С помощью циркуля от точки $B$ отметьте дуги, равные дуге $AB$. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$. Рис. 65

Для решения задачи выполним описанные в ней построения и дадим им геометрическое обоснование.

Сначала построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 2$ см. На этой окружности отметим произвольную точку $A$. Затем построим вторую окружность с центром в точке $A$ и таким же радиусом $R' = 2$ см. Одну из точек пересечения этих двух окружностей обозначим буквой $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный центрами окружностей $O$, $A$ и точкой их пересечения $B$.

• Отрезок $OA$ соединяет центр первой окружности с точкой $A$ на ней. Следовательно, $OA$ является радиусом, и его длина $OA = 2$ см.
• Отрезок $OB$ соединяет центр первой окружности $O$ с точкой $B$ на ней. Следовательно, $OB$ также является радиусом, и его длина $OB = 2$ см.
• Отрезок $AB$ соединяет центр второй окружности $A$ с точкой $B$ на ней. Следовательно, $AB$ является радиусом второй окружности, и его длина $AB = 2$ см.

Таким образом, все три стороны треугольника $\triangle OAB$ равны между собой: $OA = OB = AB = 2$ см. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на хорду $AB$ в первой окружности (с центром $O$), равен $60^\circ$.

Далее, по условию, необходимо с помощью циркуля от точки $B$ отложить дуги, равные дуге $AB$. При построении с помощью циркуля "отложить дугу, равную дуге $AB$" означает отложить хорду, равную по длине хорде $AB$. Мы уже установили, что длина хорды $AB$ равна радиусу окружности.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы последовательно откладывать на окружности хорды, равные ее радиусу. Каждая такая хорда стягивает дугу, которой соответствует центральный угол в $60^\circ$.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Чтобы определить, сколько раз хорда, равная радиусу, уложится по всей окружности, разделим полный угол на центральный угол, соответствующий одной такой хорде: $$ \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6 $$

Результат показывает, что ровно шесть таких хорд (и соответствующих им дуг) составляют полную окружность. Если мы начнем с точки $A$ и последовательно отложим шесть таких дуг (первая из которых $AB$), то мы совершим полный оборот и вернемся в исходную точку $A$. Конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадет с точкой $A$.

Ответ: Утверждение в задаче верно. Построение приводит к тому, что хорда $AB$ равна радиусу окружности ($2$ см). Хорда, равная радиусу, стягивает центральный угол в $60^\circ$. Поскольку полный угол составляет $360^\circ$, то по окружности можно отложить ровно $360 / 60 = 6$ таких хорд. Следовательно, отложив последовательно шесть дуг, начиная от точки $A$, мы вернемся в эту же точку $A$.