Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

395. Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте точки $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Обозначьте точки с координатами $7, 5, 3, 1$ соответственно буквами $A, B, C$ и $D$.

Для решения задачи выполним последовательно все указанные действия.

1. Сначала построим координатный луч. Для этого начертим прямую, отметим на ней начальную точку O, которая соответствует координате 0. Затем выберем направление (обычно вправо) и укажем его стрелкой.

2. Зададим единичный отрезок, равный 1 см (или 2 клеткам тетради). Отложим от точки O последовательно отрезки такой длины и пронумеруем их концы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

3. Теперь обозначим указанные в задании точки соответствующими буквами. Точка с координатой 7 будет называться A, с координатой 5 — B, с координатой 3 — C, и с координатой 1 — D.

   • Точка $A$ имеет координату 7, что записывается как $A(7)$.

   • Точка $B$ имеет координату 5, что записывается как $B(5)$.

   • Точка $C$ имеет координату 3, что записывается как $C(3)$.

   • Точка $D$ имеет координату 1, что записывается как $D(1)$.

Результат построения будет выглядеть следующим образом:

Ответ:

На построенном координатном луче с единичным отрезком 1 см отмечены точки $D(1)$, $C(3)$, $B(5)$ и $A(7)$, как показано на изображении выше.

396. Какая из точек $A(5)$, $B(100)$ и $C(56)$ расположена на координатном луче:

а) правее других;

б) левее других?

На координатном луче точка, имеющая большую координату, расположена правее точки, имеющей меньшую координату. Соответственно, точка с меньшей координатой находится левее.

У нас есть три точки: A(5), B(100) и C(56). Чтобы определить их взаимное расположение, нужно сравнить их координаты: 5, 100 и 56.

а) правее других

Точка, расположенная правее других, имеет наибольшую координату. Сравним данные координаты: $5 < 56 < 100$.
Наибольшее число — 100, которое является координатой точки B.
Следовательно, точка B(100) расположена правее других.
Ответ: B(100).

б) левее других

Точка, расположенная левее других, имеет наименьшую координату. Снова обратимся к сравнению координат: $5 < 56 < 100$.
Наименьшее число — 5, которое является координатой точки A.
Следовательно, точка A(5) расположена левее других.
Ответ: A(5).

397. Назовите три точки, расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами, и три точки, расположенные левее их:

а) $7$;

б) $13$;

в) $100$;

г) $998$.

На координатном луче точки, расположенные правее указанной точки, имеют большую координату, а точки, расположенные левее, — меньшую координату. Следует помнить, что координаты точек на координатном луче не могут быть отрицательными.

а) Для точки с координатой 7:

Три точки, расположенные правее, должны иметь координаты больше 7. Например, выберем следующие три целых числа: 8, 9 и 10. Условие выполняется, так как $8 > 7$, $9 > 7$ и $10 > 7$.

Три точки, расположенные левее, должны иметь координаты меньше 7. Например, выберем числа 6, 5 и 4. Условие выполняется, так как $6 < 7$, $5 < 7$ и $4 < 7$.

Ответ: правее – 8, 9, 10; левее – 6, 5, 4.

б) Для точки с координатой 13:

Три точки, расположенные правее, должны иметь координаты больше 13. Например, выберем следующие три целых числа: 14, 15 и 16. Условие выполняется, так как $14 > 13$, $15 > 13$ и $16 > 13$.

Три точки, расположенные левее, должны иметь координаты меньше 13. Например, выберем числа 12, 11 и 10. Условие выполняется, так как $12 < 13$, $11 < 13$ и $10 < 13$.

Ответ: правее – 14, 15, 16; левее – 12, 11, 10.

в) Для точки с координатой 100:

Три точки, расположенные правее, должны иметь координаты больше 100. Например, выберем следующие три целых числа: 101, 102 и 103. Условие выполняется, так как $101 > 100$, $102 > 100$ и $103 > 100$.

Три точки, расположенные левее, должны иметь координаты меньше 100. Например, выберем числа 99, 98 и 97. Условие выполняется, так как $99 < 100$, $98 < 100$ и $97 < 100$.

Ответ: правее – 101, 102, 103; левее – 99, 98, 97.

г) Для точки с координатой 998:

Три точки, расположенные правее, должны иметь координаты больше 998. Например, выберем следующие три целых числа: 999, 1000 и 1001. Условие выполняется, так как $999 > 998$, $1000 > 998$ и $1001 > 998$.

Три точки, расположенные левее, должны иметь координаты меньше 998. Например, выберем числа 997, 996 и 995. Условие выполняется, так как $997 < 998$, $996 < 998$ и $995 < 998$.

Ответ: правее – 999, 1000, 1001; левее – 997, 996, 995.

398. Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

а) $0$ и $9$;

б) $4$ и $14$;

в) $90$ и $120$?

а) 0 и 9;
Чтобы найти количество натуральных чисел между двумя данными числами, необходимо определить, сколько целых чисел, используемых при счете (1, 2, 3, ...), находится в этом промежутке. Слово "между" означает, что сами числа 0 и 9 не включаются в подсчет.
Нам нужно найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется строгое неравенство $0 < n < 9$.
Перечислим эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Их количество можно вычислить по формуле: из большего числа вычесть меньшее и отнять единицу.
Количество чисел = $9 - 0 - 1 = 8$.
Ответ: 8

б) 4 и 14;
Нам нужно найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется строгое неравенство $4 < n < 14$.
Перечислим эти числа: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Для подсчета их количества вычтем из большего числа меньшее и отнимем единицу:
Количество чисел = $14 - 4 - 1 = 9$.
Ответ: 9

в) 90 и 120?
Нам нужно найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется строгое неравенство $90 < n < 120$.
Это все натуральные числа от 91 до 119 включительно.
Для подсчета их количества применим ту же формулу:
Количество чисел = $120 - 90 - 1 = 29$.
Ответ: 29

399. На рисунке 57 изображён координатный луч. Назовите отмеченные на нём точки.

а) $A(17)$, $B(18)$

б) $C(179)$, $D(180)$

в) $K(1999)$, $L(2000)$

г) $M(a)$, $N(a+1)$

Рис. 57

а) На координатном луче отмечены две точки: $A$ и $B$. Под точкой $A$ указано число 17, это и есть её координата. Запись такой точки: $A(17)$. Аналогично, под точкой $B$ указано число 18, что означает, что её координата равна 18. Запись: $B(18)$.
Ответ: $A(17)$, $B(18)$.

б) На этом координатном луче отмечены точки $C$ и $D$. Точка $C$ соответствует числу 179 на луче, следовательно, её координата 179. Запись: $C(179)$. Точка $D$ соответствует числу 180, её координата 180. Запись: $D(180)$.
Ответ: $C(179)$, $D(180)$.

в) На координатном луче отмечены точки $K$ и $L$. Координата точки $K$ равна 1999, что записывается как $K(1999)$. Координата точки $L$ равна 2000, что записывается как $L(2000)$.
Ответ: $K(1999)$, $L(2000)$.

г) На данном координатном луче отмечены точки $M$ и $N$. Координата точки $M$ обозначена переменной $a$. Запись: $M(a)$. Точка $N$ расположена на следующей отметке, значение которой на единицу больше, чем $a$. Следовательно, её координата равна $a+1$. Запись: $N(a+1)$.
Ответ: $M(a)$, $N(a+1)$.

400. По рисунку 58 определите координату точки $A$ приближённо с точностью до 1:

а) с недостатком;

б) с избытком.

а) $A$

5

9

б) $A$

5

7

Рис. 58

а) с недостатком;

На рисунке а) на координатной оси отмечены числа 5 и 9. Расстояние между ними составляет $9 - 5 = 4$ единицы. Этот отрезок разделен на 4 равные части, значит, цена одного деления равна $4 / 4 = 1$. Таким образом, отметки на оси соответствуют числам 5, 6, 7, 8, 9. Точка А расположена между отметками 7 и 8. Если ее координата $x_A$, то справедливо неравенство $7 < x_A < 8$. Приближенным значением координаты с недостатком с точностью до 1 является наибольшее целое число, которое не превышает данную координату (то есть, ближайшее целое слева). Для точки А это число 7.

Ответ: 7

б) с избытком

На рисунке б) на координатной оси отмечены числа 5 и 7. Расстояние между ними составляет $7 - 5 = 2$ единицы. Этот отрезок разделен на 2 равные части, значит, цена одного деления равна $2 / 2 = 1$. Таким образом, отметки на оси соответствуют числам 5, 6, 7. Точка А расположена между отметками 6 и 7. Если ее координата $x_A$, то справедливо неравенство $6 < x_A < 7$. Приближенным значением координаты с избытком с точностью до 1 является наименьшее целое число, которое больше данной координаты (то есть, ближайшее целое справа). Для точки А это число 7.

Ответ: 7

401. Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево.

Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть:

а) в точку 6;

б) в точку 7?

Обозначим прыжок вправо на 5 единичных отрезков как $+5$, а прыжок влево на 3 единичных отрезка как $-3$. Кузнечик начинает из точки 0 и совершает прыжки попеременно: сначала вправо, потом влево, потом снова вправо и так далее. За одну пару прыжков (вправо и влево) он смещается на $5 - 3 = 2$ единичных отрезка вправо.

а) в точку 6
Чтобы попасть в точку 6, кузнечику нужно сместиться на 6 единиц. Так как 6 — четное число, можно предположить, что он окажется в этой точке после четного числа прыжков, то есть после нескольких полных пар "вправо-влево". Поскольку за одну пару прыжков он смещается на 2 единицы, то для смещения на 6 единиц ему потребуется $6 \div 2 = 3$ такие пары. Общее число прыжков составит $3 \times 2 = 6$. Проверим последовательность его положений:
1-й прыжок: $0 + 5 = 5$;
2-й прыжок: $5 - 3 = 2$;
3-й прыжок: $2 + 5 = 7$;
4-й прыжок: $7 - 3 = 4$;
5-й прыжок: $4 + 5 = 9$;
6-й прыжок: $9 - 3 = 6$.
После 6 прыжков кузнечик действительно оказывается в точке 6.
Ответ: да, сможет.

б) в точку 7
Координата 7 — нечетное число. Попасть в точку с нечетной координатой после четного числа прыжков (полных пар) невозможно, так как в этом случае его координата всегда будет четной (равна $2 \times$ количество пар). Следовательно, он должен оказаться в точке 7 после нечетного числа прыжков, то есть последний прыжок должен быть вправо (+5). Это значит, что перед последним прыжком кузнечик должен был находиться в точке $7 - 5 = 2$. В точку 2, как мы видели в пункте а), он попадает после 2 прыжков (одной пары "вправо-влево"). Таким образом, полная последовательность прыжков будет:
1-й прыжок: $0 + 5 = 5$;
2-й прыжок: $5 - 3 = 2$;
3-й прыжок: $2 + 5 = 7$.
Кузнечик попадет в точку 7 за 3 прыжка.
Ответ: да, сможет.