Страница 111 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

500. а) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба, т. е. сумму площадей всех его граней.

б) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба.

а)

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Каждая грань куба является квадратом. Длина ребра куба — это сторона этого квадрата.

Дано, что ребро куба $a = 5$ см.

1. Найдем площадь одной грани (квадрата). Формула площади квадрата: $S_{грани} = a^2$.
$S_{грани} = 5^2 = 25$ см$^2$.

2. Так как у куба 6 одинаковых граней, умножим площадь одной грани на 6, чтобы найти общую площадь поверхности.
$S_{поверхности} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 25 = 150$ см$^2$.

Ответ: 150 см$^2$.

б)

Используем тот же подход для куба с ребром $a = 10$ см.

1. Вычислим площадь одной грани куба:
$S_{грани} = a^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

2. Вычислим общую площадь поверхности, умножив площадь одной грани на 6:
$S_{поверхности} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 100 = 600$ см$^2$.

Ответ: 600 см$^2$.

501. На гранях куба (рис. 104) написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи. Рядом с кубиком изображены его развёртки, на которых указано одно из этих чисел. Укажите остальные числа.

a) 7

3

2

б) 3

2

1

Рис. 104

Согласно условию задачи, на гранях куба расположены числа от 1 до 6. Сумма чисел на двух противоположных гранях всегда равна 7. Это означает, что противоположными являются следующие пары чисел:

• 1 и 6 (поскольку $1+6=7$)
• 2 и 5 (поскольку $2+5=7$)
• 3 и 4 (поскольку $3+4=7$)

На рисунке 104 а) показан куб, из которого видно взаимное расположение трёх граней: если смотреть на грань с числом 3 (спереди), то сверху будет грань с числом 1, а справа — грань с числом 2. Эта информация позволяет однозначно определить расположение всех чисел на развёртках.

502. На рисунке 105 изображены игральный кубик и его развёртка. Какое число изображено на:

а) нижней грани;

б) боковой грани слева;

в) боковой грани сзади?

Рис. 105

Для решения задачи необходимо определить, какие грани игрального кубика являются противоположными друг другу. Это можно сделать, проанализировав его развёртку. Если мысленно сложить куб из данной развёртки, приняв грань с 5 точками за переднюю, то грань с 2 точками станет верхней, грань с 6 — нижней, грань с 4 — правой, грань с 3 — левой, а грань с 1 точкой — задней. Таким образом, мы определили три пары противоположных граней: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 4. На изображении кубика видны три грани: верхняя с 6 точками, передняя с 4 точками и правая боковая с 5 точками. Используя найденные пары противоположных граней, ответим на вопросы.

а) нижней грани

Нижняя грань является противоположной верхней грани. На верхней грани изображено число 6. Согласно развёртке, грань, противоположная грани с 6 точками, — это грань с 2 точками.

Ответ: 2.

б) боковой грани слева

Левая боковая грань противоположна правой боковой грани. На правой боковой грани изображено число 5. Согласно развёртке, грань, противоположная грани с 5 точками, — это грань с 1 точкой.

Ответ: 1.

в) боковой грани сзади

Задняя грань противоположна передней грани. На передней грани изображено число 4. Согласно развёртке, грань, противоположная грани с 4 точками, — это грань с 3 точками.

Ответ: 3.

503. На рисунке 106 изображены два одинаковых игральных кубика в разных положениях. Какие числа изображены на нижних гранях кубиков?

a) б) Рис. 106

Для решения этой задачи используется основное свойство стандартных игральных кубиков: сумма очков на противоположных гранях всегда равна 7. Это означает, что:

• Напротив 1 находится 6 ($1+6=7$)
• Напротив 2 находится 5 ($2+5=7$)
• Напротив 3 находится 4 ($3+4=7$)

Чтобы найти число на нижней грани, нужно определить число на верхней грани и вычесть его из 7.

а) На верхней грани первого кубика изображено 5 точек, то есть число 5. Нижняя грань является противоположной верхней. Следовательно, на нижней грани будет число, которое в сумме с 5 дает 7.
$7 - 5 = 2$
На нижней грани первого кубика изображено число 2.
Ответ: 2.

б) На верхней грани второго кубика изображена 1 точка, то есть число 1. Аналогично первому случаю, находим число на противоположной, нижней, грани.
$7 - 1 = 6$
На нижней грани второго кубика изображено число 6.
Ответ: 6.

504. Маша собралась клеить кубики, и для этого она нарисовала различные заготовки (рис. 107). Старший брат посмотрел её работу и сказал, что некоторые из них не являются развёртками кубика. Какие заготовки являются развёртками кубика?

а) б) в) г) Рис. 107

Чтобы определить, является ли заготовка развёрткой кубика, нужно проверить два условия: заготовка должна состоять ровно из шести квадратов, и при мысленном сворачивании фигуры все грани куба должны быть покрыты ровно один раз, без наложений и пробелов.

а)

Данная заготовка состоит из шести квадратов. Мысленно выберем в качестве основания (нижней грани) центральный квадрат из горизонтального ряда. Тогда квадраты слева и справа от него при сгибании станут левой и правой гранями. Квадрат, расположенный над основанием, станет задней гранью. Квадрат, расположенный под основанием, — передней. Оставшийся самый нижний квадрат, соединённый с передней гранью, идеально подходит на роль верхней грани (крышки). При таком сворачивании все шесть граней занимают свои места, не перекрывая друг друга. Следовательно, эта фигура является развёрткой куба.

Ответ: заготовка а) является развёрткой кубика.

б)

Эта заготовка также состоит из шести квадратов. Рассмотрим длинную полосу из четырёх квадратов. Если её свернуть, она образует четыре боковые стенки куба, но без основания и крышки. Два оставшихся квадрата должны выполнять роль этих недостающих граней. Однако они оба прикреплены к одной и той же боковой стороне (к одному из квадратов основной полосы). При попытке закрыть куб эти две грани будут претендовать на одну и ту же позицию или наложатся друг на друга, оставляя при этом противоположную сторону куба открытой. Таким образом, из этой заготовки собрать куб невозможно.

Ответ: заготовка б) не является развёрткой кубика.

в)

Эта заготовка, имеющая форму креста, является одной из 11 классических развёрток куба. Она состоит из шести квадратов. Если принять центральный квадрат за основание, то четыре примыкающих к нему квадрата при сгибании образуют четыре боковые стенки. Оставшийся шестой квадрат становится верхней гранью (крышкой). Все грани куба оказываются на своих местах без наложений.

Ответ: заготовка в) является развёрткой кубика.

г)

Данная заготовка из шести квадратов, расположенных в виде "лесенки", также является развёрткой куба. Процесс сворачивания можно представить так: выберем один из центральных квадратов в качестве основания. Например, левый квадрат в среднем ряду. Квадраты вокруг него последовательно сгибаются, образуя боковые грани. Квадрат над ним станет задней гранью, а квадрат справа от него — правой. Квадрат, примыкающий к задней грани, станет левой гранью. Квадрат, примыкающий к правой грани, — передней. Последний, самый верхний квадрат, станет крышкой. В результате получается замкнутый куб без наложения граней.

Ответ: заготовка г) является развёрткой кубика.