Страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

505. Перерисуйте рисунок 108 в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так, чтобы куб был виден:

а) сверху и справа:

б) снизу и слева.

Рис. 108

а) сверху и справа:

Чтобы куб был виден сверху и справа, необходимо выделить жирной линией рёбра, образующие видимые грани: верхнюю, переднюю и правую. Невидимые рёбра, которые сходятся в самой дальней от наблюдателя (нижней левой задней) вершине, остаются тонкими.

Ответ:

б) снизу и слева:

Чтобы куб был виден снизу и слева, необходимо выделить жирной линией рёбра, образующие видимые грани: нижнюю, переднюю и левую. Невидимые рёбра, которые сходятся в самой дальней от наблюдателя (верхней правой задней) вершине, остаются тонкими.

Ответ:

506. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

Пусть измерения (рёбра) прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

а)

Поскольку в условии не указано, какая грань является основанием, мы можем выбрать любую из трёх пар параллельных граней. Это приводит к трём возможным вариантам решения.

Вариант 1. Основанием является грань со сторонами 3 см и 4 см.
Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется как произведение его сторон:
$S_{осн} = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12$ см².
В этом случае высота параллелепипеда $h = c = 5$ см. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = 2(a+b) \cdot c = 2(3+4) \cdot 5 = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70$ см².
Ответ: площадь основания 12 см², площадь боковой поверхности 70 см².

Вариант 2. Основанием является грань со сторонами 3 см и 5 см.
Площадь основания:
$S_{осн} = a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ см².
Высота $h = b = 4$ см. Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+c) \cdot b = 2(3+5) \cdot 4 = 2 \cdot 8 \cdot 4 = 64$ см².
Ответ: площадь основания 15 см², площадь боковой поверхности 64 см².

Вариант 3. Основанием является грань со сторонами 4 см и 5 см.
Площадь основания:
$S_{осн} = b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ см².
Высота $h = a = 3$ см. Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(b+c) \cdot a = 2(4+5) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54$ см².
Ответ: площадь основания 20 см², площадь боковой поверхности 54 см².

б)

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это сумма площадей всех шести граней. Она вычисляется по формуле и не зависит от выбора основания:
$S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$
Подставим значения рёбер:
$S_{полн} = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94$ см².
Этот результат можно проверить, сложив удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности из любого варианта пункта «а», например, из первого: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 70 = 24 + 70 = 94$ см².
Ответ: 94 см².

В задании «а» может получиться три разных ответа, потому что у прямоугольного параллелепипеда есть три пары различных по размерам граней. Любую из этих пар граней можно выбрать в качестве оснований. В зависимости от выбора основания (прямоугольник со сторонами 3х4 см, 3х5 см или 4х5 см) будет меняться как площадь самого основания, так и высота параллелепипеда. А поскольку площадь боковой поверхности напрямую зависит от периметра основания и высоты, она также будет разной для каждого из трёх случаев.

507. На рисунке 109 изображён куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов на этом рисунке?

Рис. 109

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным подходом. Любой прямоугольный параллелепипед внутри большого куба однозначно определяется выбором двух параллельных плоскостей для каждого из трех измерений (длина, ширина, высота).

Большой куб имеет размер $2 \times 2 \times 2$ маленьких кубика. Это значит, что вдоль каждого из трех направлений (вдоль ребер) можно провести 3 параллельные плоскости, которые формируют грани маленьких кубиков: две плоскости по краям большого куба и одна плоскость посередине.

Чтобы определить длину параллелепипеда, нужно выбрать 2 плоскости из этих 3-х. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 3 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для нашего случая $n=3$ и $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$ способа.

Таким образом, у нас есть:

• 3 способа выбрать пару плоскостей для определения длины;
• 3 способа выбрать пару плоскостей для определения ширины;
• 3 способа выбрать пару плоскостей для определения высоты.

Поскольку выбор плоскостей по каждому измерению является независимым, общее количество возможных прямоугольных параллелепипедов равно произведению количества способов для каждого измерения:
Общее количество = $3 \times 3 \times 3 = 27$.

Ответ: 27.

508. Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см (рис. 110). У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань; только две грани; три грани?

Рис. 110

Исходный большой куб был окрашен снаружи, а затем распилен на 27 одинаковых маленьких кубиков. Поскольку $3 \times 3 \times 3 = 27$, это означает, что большой куб состоял из 3 слоев, в каждом из которых было по $3 \times 3 = 9$ кубиков. Таким образом, размеры большого куба — $3 \times 3 \times 3$ маленьких кубика.

Количество окрашенных граней у маленького кубика зависит от его положения в большом кубе:

• Кубики в вершинах большого куба имеют 3 окрашенные грани.
• Кубики на ребрах (но не в вершинах) имеют 2 окрашенные грани.
• Кубики в центре граней (не на ребрах) имеют 1 окрашенную грань.
• Кубик в самом центре большого куба не имеет окрашенных граней.

Теперь посчитаем количество кубиков каждого типа.

только одна грань
Это кубики, которые находятся в центре каждой грани большого куба. У куба 6 граней. На каждой грани размером $3 \times 3$ есть только один центральный кубик, который не касается ребер.
Следовательно, количество таких кубиков равно: $1 \text{ (кубик в центре грани)} \times 6 \text{ (граней)} = 6$.
Ответ: 6 кубиков.

только две грани
Это кубики, которые находятся на ребрах большого куба, за исключением угловых. У куба 12 ребер. Каждое ребро состоит из 3 маленьких кубиков. Два крайних кубика на ребре являются угловыми (у них 3 окрашенные грани), а один центральный кубик имеет 2 окрашенные грани.
Следовательно, количество таких кубиков равно: $1 \text{ (кубик на ребре)} \times 12 \text{ (ребер)} = 12$.
Ответ: 12 кубиков.

три грани
Это кубики, которые находятся в вершинах (углах) большого куба. У куба всегда 8 вершин.
Следовательно, кубиков с тремя окрашенными гранями ровно 8.
Ответ: 8 кубиков.

Для проверки можно сложить все найденные кубики и добавить тот, что находится в самом центре и не имеет окрашенных граней (такой кубик один, так как внутренний объем большого куба равен $(3-2) \times (3-2) \times (3-2) = 1$ кубик).
Общее число кубиков: $6 \text{ (с одной гранью)} + 12 \text{ (с двумя гранями)} + 8 \text{ (с тремя гранями)} + 1 \text{ (без окрашенных граней)} = 27$.
Результат совпадает с условием задачи.