Номер 508, страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

508. Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см (рис. 110). У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань; только две грани; три грани?

Рис. 110

Исходный большой куб был окрашен снаружи, а затем распилен на 27 одинаковых маленьких кубиков. Поскольку $3 \times 3 \times 3 = 27$, это означает, что большой куб состоял из 3 слоев, в каждом из которых было по $3 \times 3 = 9$ кубиков. Таким образом, размеры большого куба — $3 \times 3 \times 3$ маленьких кубика.

Количество окрашенных граней у маленького кубика зависит от его положения в большом кубе:

• Кубики в вершинах большого куба имеют 3 окрашенные грани.
• Кубики на ребрах (но не в вершинах) имеют 2 окрашенные грани.
• Кубики в центре граней (не на ребрах) имеют 1 окрашенную грань.
• Кубик в самом центре большого куба не имеет окрашенных граней.

Теперь посчитаем количество кубиков каждого типа.

только одна грань
Это кубики, которые находятся в центре каждой грани большого куба. У куба 6 граней. На каждой грани размером $3 \times 3$ есть только один центральный кубик, который не касается ребер.
Следовательно, количество таких кубиков равно: $1 \text{ (кубик в центре грани)} \times 6 \text{ (граней)} = 6$.
Ответ: 6 кубиков.

только две грани
Это кубики, которые находятся на ребрах большого куба, за исключением угловых. У куба 12 ребер. Каждое ребро состоит из 3 маленьких кубиков. Два крайних кубика на ребре являются угловыми (у них 3 окрашенные грани), а один центральный кубик имеет 2 окрашенные грани.
Следовательно, количество таких кубиков равно: $1 \text{ (кубик на ребре)} \times 12 \text{ (ребер)} = 12$.
Ответ: 12 кубиков.

три грани
Это кубики, которые находятся в вершинах (углах) большого куба. У куба всегда 8 вершин.
Следовательно, кубиков с тремя окрашенными гранями ровно 8.
Ответ: 8 кубиков.

Для проверки можно сложить все найденные кубики и добавить тот, что находится в самом центре и не имеет окрашенных граней (такой кубик один, так как внутренний объем большого куба равен $(3-2) \times (3-2) \times (3-2) = 1$ кубик).
Общее число кубиков: $6 \text{ (с одной гранью)} + 12 \text{ (с двумя гранями)} + 8 \text{ (с тремя гранями)} + 1 \text{ (без окрашенных граней)} = 27$.
Результат совпадает с условием задачи.