Номер 506, страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

506. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

Пусть измерения (рёбра) прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

а)

Поскольку в условии не указано, какая грань является основанием, мы можем выбрать любую из трёх пар параллельных граней. Это приводит к трём возможным вариантам решения.

Вариант 1. Основанием является грань со сторонами 3 см и 4 см.
Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется как произведение его сторон:
$S_{осн} = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12$ см².
В этом случае высота параллелепипеда $h = c = 5$ см. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = 2(a+b) \cdot c = 2(3+4) \cdot 5 = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70$ см².
Ответ: площадь основания 12 см², площадь боковой поверхности 70 см².

Вариант 2. Основанием является грань со сторонами 3 см и 5 см.
Площадь основания:
$S_{осн} = a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ см².
Высота $h = b = 4$ см. Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+c) \cdot b = 2(3+5) \cdot 4 = 2 \cdot 8 \cdot 4 = 64$ см².
Ответ: площадь основания 15 см², площадь боковой поверхности 64 см².

Вариант 3. Основанием является грань со сторонами 4 см и 5 см.
Площадь основания:
$S_{осн} = b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ см².
Высота $h = a = 3$ см. Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(b+c) \cdot a = 2(4+5) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54$ см².
Ответ: площадь основания 20 см², площадь боковой поверхности 54 см².

б)

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это сумма площадей всех шести граней. Она вычисляется по формуле и не зависит от выбора основания:
$S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$
Подставим значения рёбер:
$S_{полн} = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94$ см².
Этот результат можно проверить, сложив удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности из любого варианта пункта «а», например, из первого: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 70 = 24 + 70 = 94$ см².
Ответ: 94 см².

В задании «а» может получиться три разных ответа, потому что у прямоугольного параллелепипеда есть три пары различных по размерам граней. Любую из этих пар граней можно выбрать в качестве оснований. В зависимости от выбора основания (прямоугольник со сторонами 3х4 см, 3х5 см или 4х5 см) будет меняться как площадь самого основания, так и высота параллелепипеда. А поскольку площадь боковой поверхности напрямую зависит от периметра основания и высоты, она также будет разной для каждого из трёх случаев.