Страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

526. а) Какой промежуток времени называют сутками?

б) Какие единицы измерения времени вы знаете?

а) Сутками называют промежуток времени, который примерно равен периоду обращения Земли вокруг своей оси. Этот промежуток времени принято считать равным 24 часам. Таким образом, в одних сутках 24 часа, что составляет $24 \times 60 = 1440$ минут или $1440 \times 60 = 86400$ секунд.
Ответ: Сутки — это промежуток времени, равный 24 часам.

б) Существуют различные единицы измерения времени. Основные из них, в порядке возрастания: секунда, минута (в 1 минуте 60 секунд), час (в 1 часе 60 минут), сутки (в 1 сутках 24 часа), неделя (в 1 неделе 7 суток), месяц (содержит от 28 до 31 суток), год (содержит 12 месяцев, или 365/366 суток), век (100 лет) и тысячелетие (1000 лет).
Ответ: Секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век, тысячелетие.

527. Какой год называют високосным?

Високосным годом называют календарный год, который содержит 366 суток, в отличие от обычного года, в котором 365 суток. Этот дополнительный день — 29 февраля — добавляется для синхронизации календарного года с астрономическим (тропическим) годом, то есть с периодом обращения Земли вокруг Солнца.

Необходимость введения високосных годов вызвана тем, что тропический год длится не ровно 365 дней, а примерно $365.2422$ суток (365 дней, 5 часов, 48 минут и 46 секунд). Если бы все годы состояли из 365 дней, то за каждые 4 года календарь отставал бы от астрономического времени почти на целые сутки. Введение дополнительного дня раз в четыре года позволяет скомпенсировать эту разницу.

В григорианском календаре, который используется сегодня в большинстве стран мира, действуют следующие правила для определения високосного года:

1. Год, номер которого кратен 4, является високосным. Например, 2024, 2028.
2. Из этого правила есть исключение: год, номер которого кратен 100, не является високосным. Например, 1900, 2100.
3. Из этого исключения есть своё исключение: год, номер которого кратен 400, всё же является високосным. Например, 2000, 2400.

Таким образом, год является високосным, если он делится на 4, но не делится на 100, либо если он делится на 400.

Ответ: Високосный год — это год, содержащий 366 дней (вместо 365) за счёт дополнительного дня 29 февраля, который вводится для синхронизации календаря с астрономическим годом. Високосным считается год, номер которого кратен 4, но не кратен 100, а также год, номер которого кратен 400.

528. Сколько месяцев в году имеют ровно по 31 дню? по 30 дней?

Сколько дней в феврале?

Сколько месяцев в году имеют ровно по 31 дню?

В году 12 месяцев. Чтобы определить, в каких из них ровно 31 день, можно перечислить их. Это следующие месяцы: январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь. Посчитав их, мы получим общее количество.

Ответ: 7 месяцев.

по 30 дней?

Месяцы, в которых ровно 30 дней, это: апрель, июнь, сентябрь и ноябрь. Всего таких месяцев в году 4.

Ответ: 4 месяца.

Сколько дней в феврале?

Февраль — самый короткий месяц, и его продолжительность зависит от того, является ли год високосным. В обычном, невисокосном году, в феврале 28 дней. В високосном году, который бывает раз в четыре года, в феврале на один день больше — 29 дней.

Ответ: 28 дней в обычном году и 29 дней в високосном году.

529. Сколько минут содержат:

а) 2 ч;

б) 3 ч;

в) сутки;

г) неделя?

Для решения этой задачи необходимо знать основные соотношения единиц времени:

• 1 час = 60 минут
• 1 сутки = 24 часа
• 1 неделя = 7 суток

а) 2 ч

Чтобы найти, сколько минут в двух часах, нужно количество часов умножить на количество минут в одном часе.

$2 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 120 \text{ мин}$

Ответ: 120 минут.

б) 3 ч

Аналогично, чтобы найти, сколько минут в трех часах, умножим 3 на 60.

$3 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 180 \text{ мин}$

Ответ: 180 минут.

в) сутки

В одних сутках 24 часа. Чтобы перевести сутки в минуты, нужно количество часов в сутках умножить на количество минут в часе.

$24 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 1440 \text{ мин}$

Ответ: 1440 минут.

г) неделя

В одной неделе 7 суток. Мы уже вычислили, что в одних сутках содержится 1440 минут. Чтобы найти количество минут в неделе, умножим количество минут в сутках на количество суток в неделе.

$1440 \frac{\text{мин}}{\text{сутки}} \times 7 \text{ суток} = 10080 \text{ мин}$

Ответ: 10080 минут.

530. Сколько секунд содержат:

а) $2 \text{ ч}$;

б) $3 \text{ ч}$;

в) сутки;

г) неделя?

Для решения этой задачи воспользуемся следующими соотношениями единиц времени:

• В 1 минуте содержится 60 секунд.
• В 1 часе содержится 60 минут.
• В 1 сутках содержится 24 часа.
• В 1 неделе содержится 7 суток.

Сначала вычислим, сколько секунд в одном часе. Так как в часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд, то:

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд/минута} = 3600 \text{ секунд}$

Теперь мы можем ответить на каждый из вопросов.

а) 2 ч

Чтобы найти, сколько секунд в 2 часах, нужно умножить количество секунд в одном часе на 2:

$2 \times 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$

Ответ: 7200 секунд.

б) 3 ч

Чтобы найти, сколько секунд в 3 часах, нужно умножить количество секунд в одном часе на 3:

$3 \times 3600 \text{ с} = 10800 \text{ с}$

Ответ: 10800 секунд.

в) сутки

В сутках 24 часа. Чтобы найти количество секунд в сутках, нужно умножить количество часов в сутках на количество секунд в одном часе:

$24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Ответ: 86400 секунд.

г) неделя

В неделе 7 суток. Чтобы найти количество секунд в неделе, нужно умножить количество суток в неделе на количество секунд в одних сутках, которое мы вычислили в предыдущем пункте:

$7 \times 86400 \text{ с} = 604800 \text{ с}$

Ответ: 604800 секунд.

531. Вычислите:

а) $3 \text{ ч } 15 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 12 \text{ мин};$

б) $3 \text{ ч } 20 \text{ мин } + 1 \text{ ч } 40 \text{ мин};$

в) $7 \text{ ч } 43 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 25 \text{ мин};$

г) $5 \text{ ч } 53 \text{ мин } + 3 \text{ ч } 48 \text{ мин};$

д) $3 \text{ мин } 20 \text{ с } + 1 \text{ мин } 13 \text{ с};$

е) $3 \text{ мин } 48 \text{ с } + 21 \text{ мин } 49 \text{ с};$

ж) $7 \text{ ч } 43 \text{ мин } - 2 \text{ ч } 25 \text{ мин};$

з) $5 \text{ ч } 23 \text{ мин } - 3 \text{ ч } 48 \text{ мин};$

и) $3 \text{ мин } 20 \text{ с } - 1 \text{ мин } 13 \text{ с};$

к) $3 \text{ мин } 48 \text{ с } - 1 \text{ мин } 49 \text{ с}.$

а) 3 ч 15 мин + 2 ч 12 мин

Чтобы сложить величины, выраженные в часах и минутах, нужно отдельно сложить часы и отдельно минуты.

$3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

$15 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 27 \text{ мин}$

Складываем результаты: 5 ч 27 мин.

Ответ: 5 ч 27 мин

б) 3 ч 20 мин + 1 ч 40 мин

Складываем часы с часами, минуты с минутами:

$3 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$

$20 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 60 \text{ мин}$

Поскольку $60 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$, мы добавляем этот час к результату:

$4 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

Ответ: 5 ч

в) 7 ч 43 мин + 2 ч 25 мин

Складываем часы с часами, минуты с минутами:

$7 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$

$43 \text{ мин} + 25 \text{ мин} = 68 \text{ мин}$

Так как $60 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$, представим $68$ минут как $60 \text{ мин} + 8 \text{ мин}$, что равно $1 \text{ ч} \ 8 \text{ мин}$.

Добавляем к часам: $9 \text{ ч} + 1 \text{ ч} \ 8 \text{ мин} = 10 \text{ ч} \ 8 \text{ мин}$.

Ответ: 10 ч 8 мин

г) 5 ч 53 мин + 3 ч 48 мин

Складываем отдельно часы и минуты:

$5 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

$53 \text{ мин} + 48 \text{ мин} = 101 \text{ мин}$

Преобразуем минуты в часы и минуты: $101 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 41 \text{ мин} = 1 \text{ ч} \ 41 \text{ мин}$.

Складываем полученные значения: $8 \text{ ч} + 1 \text{ ч} \ 41 \text{ мин} = 9 \text{ ч} \ 41 \text{ мин}$.

Ответ: 9 ч 41 мин

д) 3 мин 20 с + 1 мин 13 с

Складываем минуты с минутами, секунды с секундами:

$3 \text{ мин} + 1 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$

$20 \text{ с} + 13 \text{ с} = 33 \text{ с}$

Результат: 4 мин 33 с.

Ответ: 4 мин 33 с

е) 3 мин 48 с + 21 мин 49 с

Складываем отдельно минуты и секунды:

$3 \text{ мин} + 21 \text{ мин} = 24 \text{ мин}$

$48 \text{ с} + 49 \text{ с} = 97 \text{ с}$

Так как $60 \text{ с} = 1 \text{ мин}$, представим $97$ секунд как $60 \text{ с} + 37 \text{ с}$, что равно $1 \text{ мин} \ 37 \text{ с}$.

Добавляем к минутам: $24 \text{ мин} + 1 \text{ мин} \ 37 \text{ с} = 25 \text{ мин} \ 37 \text{ с}$.

Ответ: 25 мин 37 с

ж) 7 ч 43 мин - 2 ч 25 мин

Чтобы вычесть одну величину из другой, нужно отдельно вычесть часы и отдельно минуты.

$7 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

$43 \text{ мин} - 25 \text{ мин} = 18 \text{ мин}$

Результат: 5 ч 18 мин.

Ответ: 5 ч 18 мин

з) 5 ч 23 мин - 3 ч 48 мин

Вычитаем часы из часов, минуты из минут. Так как $23 \text{ мин} < 48 \text{ мин}$, нам нужно "занять" 1 час из 5 часов и перевести его в минуты.

$5 \text{ ч} \ 23 \text{ мин} = 4 \text{ ч} + 1 \text{ ч} + 23 \text{ мин} = 4 \text{ ч} + 60 \text{ мин} + 23 \text{ мин} = 4 \text{ ч} \ 83 \text{ мин}$.

Теперь выполняем вычитание:

$4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$

$83 \text{ мин} - 48 \text{ мин} = 35 \text{ мин}$

Результат: 1 ч 35 мин.

Ответ: 1 ч 35 мин

и) 3 мин 20 с - 1 мин 13 с

Вычитаем минуты из минут, секунды из секунд:

$3 \text{ мин} - 1 \text{ мин} = 2 \text{ мин}$

$20 \text{ с} - 13 \text{ с} = 7 \text{ с}$

Результат: 2 мин 7 с.

Ответ: 2 мин 7 с

к) 3 мин 48 с - 1 мин 49 с

Вычитаем минуты из минут, секунды из секунд. Так как $48 \text{ с} < 49 \text{ с}$, нам нужно "занять" 1 минуту из 3 минут и перевести ее в секунды.

$3 \text{ мин} \ 48 \text{ с} = 2 \text{ мин} + 1 \text{ мин} + 48 \text{ с} = 2 \text{ мин} + 60 \text{ с} + 48 \text{ с} = 2 \text{ мин} \ 108 \text{ с}$.

Теперь выполняем вычитание:

$2 \text{ мин} - 1 \text{ мин} = 1 \text{ мин}$

$108 \text{ с} - 49 \text{ с} = 59 \text{ с}$

Результат: 1 мин 59 с.

Ответ: 1 мин 59 с

532. Самолёт поднялся в воздух в 12 ч 35 мин и находился в полёте 2 ч 40 мин. Когда приземлился самолёт?

Чтобы найти время, когда приземлился самолёт, необходимо ко времени его взлёта прибавить время, которое он находился в полёте.

Время взлёта: 12 ч 35 мин.

Продолжительность полёта: 2 ч 40 мин.

Сложим часы с часами и минуты с минутами:

$12 \text{ ч } + 2 \text{ ч } = 14 \text{ ч }$

$35 \text{ мин } + 40 \text{ мин } = 75 \text{ мин }$

Получилось 14 ч 75 мин.

Поскольку в одном часе 60 минут, мы можем преобразовать 75 минут в часы и минуты:

$75 \text{ мин } = 60 \text{ мин } + 15 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин }$

Теперь добавим этот 1 час к ранее полученным 14 часам:

$14 \text{ ч } + 1 \text{ ч } = 15 \text{ ч }$

И добавим оставшиеся минуты. Получаем 15 ч 15 мин.

Таким образом, самолёт приземлился в 15 часов 15 минут.

Ответ: самолёт приземлился в 15 ч 15 мин.

533. Самолёт поднялся в воздух в 14 ч 45 мин и приземлился в 17 ч 10 мин. Сколько времени он находился в полёте?

Чтобы найти, сколько времени самолёт находился в полёте, нужно из времени приземления вычесть время взлёта.

Время взлёта: $14 \text{ ч } 45 \text{ мин }$.

Время приземления: $17 \text{ ч } 10 \text{ мин }$.

Найдём разницу: $17 \text{ ч } 10 \text{ мин } - 14 \text{ ч } 45 \text{ мин }$.

Так как из 10 минут нельзя вычесть 45 минут, мы возьмём 1 час из 17 часов и переведём его в минуты. Мы знаем, что $1 \text{ час } = 60 \text{ минут }$.

Таким образом, время приземления можно представить в следующем виде:

$17 \text{ ч } 10 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 10 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + (60 \text{ мин } + 10 \text{ мин }) = 16 \text{ ч } 70 \text{ мин }$.

Теперь выполним вычитание:

$16 \text{ ч } 70 \text{ мин } - 14 \text{ ч } 45 \text{ мин } = (16 - 14) \text{ ч } + (70 - 45) \text{ мин } = 2 \text{ ч } 25 \text{ мин }$.

Следовательно, самолёт находился в полёте 2 часа 25 минут.

Ответ: 2 ч 25 мин.

534. а) Может ли в феврале быть 5 понедельников и 5 вторников? А в марте?

б) Мальчик купил абонемент на 6 посещений бассейна в месяц. Верно ли утверждение, что в одну из недель этого месяца он посетит бассейн дважды?

а) Для ответа на этот вопрос нужно проанализировать количество дней в каждом месяце. В неделе 7 дней.
Рассмотрим февраль. В феврале может быть 28 дней (обычный год) или 29 дней (високосный год).

• Если в месяце 28 дней, то это ровно 4 недели ($28 = 4 \times 7$). В таком месяце каждого дня недели будет ровно по 4 раза.
• Если в месяце 29 дней, то это 4 полные недели и еще 1 день ($29 = 4 \times 7 + 1$). Это значит, что только один день недели (тот, на который пришлось 1-е число) встретится 5 раз, а все остальные — по 4 раза.

Чтобы в месяце было и 5 понедельников, и 5 вторников, в нем должно быть как минимум $4 \times 7 + 2 = 30$ дней. Поскольку в феврале не бывает 30 дней, такое событие невозможно.
Теперь рассмотрим март. В марте 31 день. $31 = 4 \times 7 + 3$. Это означает, что в марте 4 полные недели и еще 3 "дополнительных" дня. Следовательно, три дня недели в этом месяце повторятся 5 раз. Если март начнется в понедельник, то 5 раз в нем будут понедельник, вторник и среда. Таким образом, в марте может быть 5 понедельников и 5 вторников.
Ответ: в феврале — нет, не может; в марте — да, может.

б) Это утверждение неверно. Оно основывается на принципе Дирихле (если 6 "голубей"-посещений распределить по "клеткам"-неделям, и клеток меньше 6, то хотя бы в одной клетке будет 2 голубя). Однако количество календарных недель, которые затрагивает месяц, не всегда меньше шести.
Месяц может охватывать части 6 разных календарных недель. Приведем контрпример. Возьмем месяц, в котором 31 день, и который начинается в субботу (будем считать, что неделя начинается с понедельника).

• Неделя 1: 1-е (сб), 2-е (вс)
• Неделя 2: с 3-го по 9-е число
• Неделя 3: с 10-го по 16-е число
• Неделя 4: с 17-го по 23-е число
• Неделя 5: с 24-го по 30-е число
• Неделя 6: 31-е число (пн)

Как видим, этот месяц затрагивает 6 разных недель. Мальчик может распределить свои 6 посещений бассейна так, чтобы на каждую неделю приходилось ровно одно посещение. Например, он может сходить в бассейн 1, 3, 10, 17, 24 и 31 числа. В этом случае не будет ни одной недели, в которую он посетил бассейн дважды. Поскольку существует хотя бы один такой пример, общее утверждение является неверным.
Ответ: нет, утверждение неверно.

535. Увеличьте:

а) 3 ч 15 мин в 3 раза;

б) 1 ч 20 мин в 4 раза;

в) 5 ч 24 мин в 3 раза;

г) 2 ч 12 мин в 7 раз.

а) Чтобы увеличить 3 ч 15 мин в 3 раза, нужно умножить количество часов и количество минут на 3 по отдельности.

1. Умножаем часы: $3 \text{ ч} \times 3 = 9 \text{ ч}$.

2. Умножаем минуты: $15 \text{ мин} \times 3 = 45 \text{ мин}$.

3. Складываем полученные значения. Получается 9 ч 45 мин. Так как количество минут (45) меньше 60, дальнейшие преобразования не требуются.

Ответ: 9 ч 45 мин.

б) Чтобы увеличить 1 ч 20 мин в 4 раза, нужно умножить количество часов и количество минут на 4.

1. Умножаем часы: $1 \text{ ч} \times 4 = 4 \text{ ч}$.

2. Умножаем минуты: $20 \text{ мин} \times 4 = 80 \text{ мин}$.

3. Получаем 4 ч 80 мин. Поскольку в одном часе 60 минут, а 80 больше 60, необходимо перевести минуты в часы: $80 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 1 \text{ ч} 20 \text{ мин}$.

4. Прибавляем полученный час к уже имеющимся часам: $4 \text{ ч} + 1 \text{ ч} 20 \text{ мин} = 5 \text{ ч} 20 \text{ мин}$.

Ответ: 5 ч 20 мин.

в) Чтобы увеличить 5 ч 24 мин в 3 раза, нужно умножить количество часов и количество минут на 3.

1. Умножаем часы: $5 \text{ ч} \times 3 = 15 \text{ ч}$.

2. Умножаем минуты: $24 \text{ мин} \times 3 = 72 \text{ мин}$.

3. Получаем 15 ч 72 мин. Так как 72 минуты больше 60, переводим их в часы и минуты: $72 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 1 \text{ ч} 12 \text{ мин}$.

4. Прибавляем полученный час к имеющимся часам: $15 \text{ ч} + 1 \text{ ч} 12 \text{ мин} = 16 \text{ ч} 12 \text{ мин}$.

Ответ: 16 ч 12 мин.

г) Чтобы увеличить 2 ч 12 мин в 7 раз, нужно умножить количество часов и количество минут на 7.

1. Умножаем часы: $2 \text{ ч} \times 7 = 14 \text{ ч}$.

2. Умножаем минуты: $12 \text{ мин} \times 7 = 84 \text{ мин}$.

3. Получаем 14 ч 84 мин. Так как 84 минуты больше 60, переводим их в часы и минуты: $84 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 24 \text{ мин} = 1 \text{ ч} 24 \text{ мин}$.

4. Прибавляем полученный час к имеющимся часам: $14 \text{ ч} + 1 \text{ ч} 24 \text{ мин} = 15 \text{ ч} 24 \text{ мин}$.

Ответ: 15 ч 24 мин.

536. Уменьшите:

а) 3 ч 15 мин в 3 раза;

б) 4 ч 48 мин в 4 раза;

в) 6 ч 56 мин в 4 раза;

г) 2 ч 55 мин в 5 раз.

а) Чтобы уменьшить 3 ч 15 мин в 3 раза, необходимо разделить данное время на 3. Для удобства вычислений переведем часы в минуты. В одном часе 60 минут.

$3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 \times 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.

Теперь разделим полученное количество минут на 3:

$195 \text{ мин} \div 3 = 65 \text{ мин}$.

Переведем 65 минут обратно в часы и минуты:

$65 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 5 \text{ мин}$.

Ответ: 1 ч 5 мин.

б) Чтобы уменьшить 4 ч 48 мин в 4 раза, нужно разделить это время на 4. В этом случае количество часов и количество минут делятся на 4 без остатка, поэтому можно выполнить деление для каждой единицы измерения отдельно.

Деление часов: $4 \text{ ч} \div 4 = 1 \text{ ч}$.

Деление минут: $48 \text{ мин} \div 4 = 12 \text{ мин}$.

Складываем результаты и получаем 1 ч 12 мин.

Ответ: 1 ч 12 мин.

в) Чтобы уменьшить 6 ч 56 мин в 4 раза, разделим это время на 4. Сначала разделим часы.

$6 \text{ ч} \div 4 = 1 \text{ ч}$ (остаток 2 ч).

Переведем остаток в минуты: $2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$.

Добавим эти минуты к уже имеющимся: $120 \text{ мин} + 56 \text{ мин} = 176 \text{ мин}$.

Теперь разделим полученное количество минут на 4:

$176 \text{ мин} \div 4 = 44 \text{ мин}$.

Объединяем результаты: 1 ч и 44 мин.

Ответ: 1 ч 44 мин.

г) Чтобы уменьшить 2 ч 55 мин в 5 раз, нужно разделить это время на 5. Так как количество часов (2) меньше делителя (5), удобнее всего сразу перевести всё время в минуты.

$2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ мин} + 55 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 55 \text{ мин} = 175 \text{ мин}$.

Разделим полученное количество минут на 5:

$175 \text{ мин} \div 5 = 35 \text{ мин}$.

Ответ: 35 мин.