Номер 534, страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

534. а) Может ли в феврале быть 5 понедельников и 5 вторников? А в марте?

б) Мальчик купил абонемент на 6 посещений бассейна в месяц. Верно ли утверждение, что в одну из недель этого месяца он посетит бассейн дважды?

а) Для ответа на этот вопрос нужно проанализировать количество дней в каждом месяце. В неделе 7 дней.
Рассмотрим февраль. В феврале может быть 28 дней (обычный год) или 29 дней (високосный год).

• Если в месяце 28 дней, то это ровно 4 недели ($28 = 4 \times 7$). В таком месяце каждого дня недели будет ровно по 4 раза.
• Если в месяце 29 дней, то это 4 полные недели и еще 1 день ($29 = 4 \times 7 + 1$). Это значит, что только один день недели (тот, на который пришлось 1-е число) встретится 5 раз, а все остальные — по 4 раза.

Чтобы в месяце было и 5 понедельников, и 5 вторников, в нем должно быть как минимум $4 \times 7 + 2 = 30$ дней. Поскольку в феврале не бывает 30 дней, такое событие невозможно.
Теперь рассмотрим март. В марте 31 день. $31 = 4 \times 7 + 3$. Это означает, что в марте 4 полные недели и еще 3 "дополнительных" дня. Следовательно, три дня недели в этом месяце повторятся 5 раз. Если март начнется в понедельник, то 5 раз в нем будут понедельник, вторник и среда. Таким образом, в марте может быть 5 понедельников и 5 вторников.
Ответ: в феврале — нет, не может; в марте — да, может.

б) Это утверждение неверно. Оно основывается на принципе Дирихле (если 6 "голубей"-посещений распределить по "клеткам"-неделям, и клеток меньше 6, то хотя бы в одной клетке будет 2 голубя). Однако количество календарных недель, которые затрагивает месяц, не всегда меньше шести.
Месяц может охватывать части 6 разных календарных недель. Приведем контрпример. Возьмем месяц, в котором 31 день, и который начинается в субботу (будем считать, что неделя начинается с понедельника).

• Неделя 1: 1-е (сб), 2-е (вс)
• Неделя 2: с 3-го по 9-е число
• Неделя 3: с 10-го по 16-е число
• Неделя 4: с 17-го по 23-е число
• Неделя 5: с 24-го по 30-е число
• Неделя 6: 31-е число (пн)

Как видим, этот месяц затрагивает 6 разных недель. Мальчик может распределить свои 6 посещений бассейна так, чтобы на каждую неделю приходилось ровно одно посещение. Например, он может сходить в бассейн 1, 3, 10, 17, 24 и 31 числа. В этом случае не будет ни одной недели, в которую он посетил бассейн дважды. Поскольку существует хотя бы один такой пример, общее утверждение является неверным.
Ответ: нет, утверждение неверно.