Страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

562. Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью $100 \text{ км/ч}$, другой со скоростью $80 \text{ км/ч}$. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него $12 \text{ с}$. Какова длина первого поезда?

Для пассажира, находящегося во втором поезде, первый поезд проезжает мимо с некоторой относительной скоростью. Так как поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения поездов ($v_{сбл}$). Она равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) поездов.

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 100 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 180 \text{ км/ч}$

2. Длина первого поезда ($L$) — это расстояние, которое он проходит относительно пассажира во втором поезде за время $t = 12$ секунд. Чтобы найти это расстояние, нужно скорость сближения умножить на время. Для этого необходимо привести единицы измерения к единой системе (например, метры и секунды).

Переведем скорость сближения из км/ч в м/с:

$180 \text{ км/ч} = 180 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 180 \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = 50 \text{ м/с}$

3. Теперь найдем длину первого поезда, умножив скорость сближения в м/с на время в секундах.

$L = v_{сбл} \times t = 50 \text{ м/с} \times 12 \text{ с} = 600 \text{ м}$

Ответ: 600 м.

563. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через тоннель при той же скорости за 3 мин. Какова длина тоннеля?

Для решения этой задачи разобьем ее на два этапа. Сначала найдем скорость поезда, а затем, зная скорость, вычислим длину туннеля.

1. Нахождение скорости поезда

Когда поезд проходит мимо точечного объекта (километрового столба), он преодолевает расстояние, равное своей собственной длине. По условию, длина поезда ($L_{поезда}$) составляет 1 км, а время, за которое он проходит мимо столба ($t_1$), равно 1 минуте.

Скорость ($v$) вычисляется по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

В данном случае расстояние $S$ равно длине поезда $L_{поезда}$.

$v = \frac{L_{поезда}}{t_1} = \frac{1 \text{ км}}{1 \text{ мин}} = 1$ км/мин.

2. Нахождение длины туннеля

Когда поезд полностью проходит через туннель, он преодолевает расстояние, равное сумме длины туннеля ($L_{туннеля}$) и собственной длины ($L_{поезда}$). Время прохождения через туннель ($t_2$) по условию составляет 3 минуты. Скорость поезда остается той же.

Общее расстояние ($S_{общ}$), которое проходит головной вагон поезда, можно выразить так:

$S_{общ} = L_{туннеля} + L_{поезда}$

Также это расстояние можно найти через скорость и время:

$S_{общ} = v \times t_2$

Подставим известные значения:

$S_{общ} = 1 \frac{\text{км}}{\text{мин}} \times 3 \text{ мин} = 3$ км.

Теперь, зная общее расстояние (3 км) и длину поезда (1 км), мы можем найти длину туннеля:

$L_{туннеля} = S_{общ} - L_{поезда} = 3 \text{ км} - 1 \text{ км} = 2$ км.

Ответ: 2 км.

564. a) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В 30 км?

б) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

в) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростью 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

а) Пусть $t$ — время в часах с момента начала движения до встречи. Скорость пешехода $V_п = 5$ км/ч, скорость велосипедиста $V_в = 10$ км/ч, а расстояние между пунктами А и В равно $S = 30$ км. Велосипедист доезжает до пункта В, разворачивается и едет навстречу пешеходу. К моменту их встречи, суммарное расстояние, которое они преодолели вместе, равно удвоенному расстоянию между А и В. Это потому, что велосипедист проехал всё расстояние $S$ до пункта В, а затем еще некоторую часть обратно, в то время как пешеход прошел оставшуюся часть расстояния $S$.
Расстояние, пройденное пешеходом: $S_п = V_п \cdot t = 5t$ км.
Расстояние, пройденное велосипедистом: $S_в = V_в \cdot t = 10t$ км.
Сумма их расстояний равна $2S$:
$S_п + S_в = 2S$
$5t + 10t = 2 \cdot 30$
$15t = 60$
$t = \frac{60}{15} = 4$ ч.
Ответ: через 4 часа.

б) Эта задача решается по аналогии с предыдущей. Пусть $t$ — время до встречи. Скорость велосипедиста $V_в = 12$ км/ч, скорость пешехода $V_п = 5$ км/ч, расстояние $S = 17$ км.
К моменту встречи велосипедиста (который доехал до В и повернул назад) и пешехода, суммарное пройденное ими расстояние составит $2S$.
Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = V_в \cdot t = 12t$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п = V_п \cdot t = 5t$ км.
Составим уравнение:
$S_в + S_п = 2S$
$12t + 5t = 2 \cdot 17$
$17t = 34$
$t = \frac{34}{17} = 2$ ч.
Ответ: через 2 часа.

в) Пусть $t$ — время до второй встречи. Скорость первого велосипедиста $V_1 = 10$ км/ч, скорость второго $V_2 = 8$ км/ч, расстояние $S = 12$ км.
Для первой встречи, двигаясь навстречу друг другу, велосипедисты вместе преодолевают расстояние $S$.
После первой встречи они продолжают движение, доезжают до конечных пунктов, разворачиваются и едут обратно. Чтобы встретиться во второй раз, им нужно суммарно преодолеть еще одно расстояние $S$ до конечных точек, а затем еще одно расстояние $S$ навстречу друг другу.
Таким образом, к моменту второй встречи общее расстояние, которое они проехали с самого начала, равно $S + S + S = 3S$.
Расстояние, пройденное первым велосипедистом: $S_1 = V_1 \cdot t = 10t$ км.
Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: $S_2 = V_2 \cdot t = 8t$ км.
Сумма их расстояний равна $3S$:
$S_1 + S_2 = 3S$
$10t + 8t = 3 \cdot 12$
$18t = 36$
$t = \frac{36}{18} = 2$ ч.
Ответ: через 2 часа.