Страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 120

3 см

4 см

Рис. 121

Периметры треугольников BCD, BDE и ABE равны соответственно 20 см, 21 см и 22 см, а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см (рис. 120). Определите длины диагоналей BD и BE, если известно, что они равны.

Обозначим периметры треугольников как $P_{BCD}$, $P_{BDE}$ и $P_{ABE}$, а периметр пятиугольника как $P_{ABCDE}$. Длины сторон пятиугольника обозначим как $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ и $AE$. Длины диагоналей обозначим как $BD$ и $BE$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Периметр треугольника BCD: $P_{BCD} = BC + CD + BD = 20$ см.
Периметр треугольника BDE: $P_{BDE} = BD + DE + BE = 21$ см.
Периметр треугольника ABE: $P_{ABE} = AB + BE + AE = 22$ см.
Периметр пятиугольника ABCDE: $P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + AE = 31$ см.

Также по условию известно, что диагонали равны: $BD = BE$. Обозначим их одинаковую длину через $d$, то есть $BD = BE = d$.

Чтобы найти длину диагоналей, сложим периметры трех заданных треугольников:

$P_{BCD} + P_{BDE} + P_{ABE} = 20 + 21 + 22 = 63$ см.

Теперь выразим эту же сумму через длины сторон и диагоналей:

$P_{BCD} + P_{BDE} + P_{ABE} = (BC + CD + BD) + (BD + DE + BE) + (AB + BE + AE)$.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить периметр пятиугольника. Заметим, что каждая из диагоналей ($BD$ и $BE$) входит в сумму дважды, а стороны пятиугольника ($AB, BC, CD, DE, AE$) — по одному разу.

$(AB + BC + CD + DE + AE) + 2 \cdot BD + 2 \cdot BE = P_{ABCDE} + 2 \cdot BD + 2 \cdot BE$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для суммы периметров и подставив известные значения:

$63 = P_{ABCDE} + 2 \cdot BD + 2 \cdot BE$

$63 = 31 + 2d + 2d$

$63 = 31 + 4d$

Решим полученное уравнение относительно $d$:

$4d = 63 - 31$

$4d = 32$

$d = \frac{32}{4}$

$d = 8$

Следовательно, длина каждой из диагоналей $BD$ и $BE$ составляет 8 см.

Ответ: длины диагоналей $BD$ и $BE$ равны 8 см.

577. Считают, что если многоугольники равны, то их площади равны; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников. На рисунке 121 изображён прямоугольник $ABCD$. Верно ли, что площади треугольников $ABD$ и $CDB$ равны? Чему равна площадь треугольника $ABD$?

Рис. 121

Верно ли, что площади треугольников ABD и CDB равны?

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагональ BD делит его на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD$ и $AD = BC$. Сторона BD является общей для обоих треугольников. Таким образом, $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Согласно свойству, указанному в условии, равные многоугольники имеют равные площади. Следовательно, площади треугольников ABD и CDB равны.

Ответ: Да, верно.

Чему равна площадь треугольника ABD?

Поскольку ABCD — прямоугольник, то угол A — прямой ($\angle A = 90^\circ$). Это означает, что треугольник ABD является прямоугольным, а его стороны AB и AD — катетами. Из рисунка мы знаем, что $AB = 3$ см и $AD = 4$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Воспользуемся формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Подставим значения в формулу для нахождения площади треугольника ABD: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Также можно найти площадь всего прямоугольника ABCD: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$. Диагональ делит прямоугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, поэтому площадь $\triangle ABD$ равна половине площади прямоугольника: $S_{\triangle ABD} = \frac{12 \text{ см}^2}{2} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см$^2$.

578. В прямоугольнике $KLMN$ диагонали $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $O$ (рис. 122). Докажите, что площади треугольников $KLO$ и $NMO$ равны.

Рис. 122

Рассмотрим треугольники $\triangle KLO$ и $\triangle NMO$.

Согласно свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, в прямоугольнике $KLMN$ диагонали $KM$ и $LN$ равны ($KM = LN$), и в точке пересечения $O$ они делятся пополам.

Из этого следует, что $KO = OM = \frac{1}{2}KM$ и $LO = ON = \frac{1}{2}LN$.

Для доказательства равенства площадей докажем, что треугольники $\triangle KLO$ и $\triangle NMO$ равны. Сравним их элементы:

1. $KO = OM$ (по свойству диагоналей прямоугольника).
2. $LO = ON$ (по свойству диагоналей прямоугольника).
3. $\angle KOL = \angle MON$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle KLO \cong \triangle NMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны, то их площади также равны.

Таким образом, $S_{\triangle KLO} = S_{\triangle NMO}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади треугольников $KLO$ и $NMO$ равны, поскольку эти треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Равенство сторон ($KO=OM$ и $LO=ON$) следует из свойства диагоналей прямоугольника, а равенство углов ($\angle KOL = \angle MON$) следует из того, что они являются вертикальными.

579. На рисунке 123 показано, как с помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник, у которого стороны равны и углы равны. Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы.

Рис. 123

Постройте в тетради правильный шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника, у которого все стороны и углы равны, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
2. Выберите на окружности любую точку A. Это будет первая вершина шестиугольника.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен быть равен радиусу R), установите его острие в точку A и проведите дугу, пересекающую окружность. Точку пересечения обозначьте как B.
4. Переместите острие циркуля в точку B и тем же раствором (R) проведите дугу, пересекающую окружность в новой точке C.
5. Продолжайте таким же образом, последовательно находя точки D, E и F. Последняя дуга, проведенная из точки F, должна пересечь окружность в исходной точке A.
6. С помощью линейки последовательно соедините отрезками точки A, B, C, D, E, F.

Полученная фигура ABCDEF является правильным шестиугольником. Особенность этого построения заключается в том, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Каждый построенный отрезок (например, AB) вместе с радиусами, проведенными к его концам из центра окружности (OA и OB), образует равносторонний треугольник (OA = OB = AB = R). Центральный угол такого треугольника (например, $\angle AOB$) равен $60^\circ$. Так как полный угол составляет $360^\circ$, то по окружности можно отложить ровно $360^\circ / 60^\circ = 6$ таких отрезков.

Ответ: правильный шестиугольник построен в соответствии с описанным методом.

Измерьте его углы

После построения шестиугольника необходимо измерить его внутренние углы с помощью транспортира. Для этого нужно приложить транспортир к каждой вершине и измерить угол между смежными сторонами (например, $\angle ABC$, $\angle BCD$ и так далее).

Теоретически, величину каждого внутреннего угла правильного n-угольника можно рассчитать по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Для правильного шестиугольника, где $n=6$, каждый угол равен:

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

При измерении углов построенного в тетради шестиугольника транспортиром, значения должны быть равны или очень близки к $120^\circ$. Небольшие погрешности могут возникнуть из-за неточности инструментов или самого построения.

Ответ: каждый угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.