Номер 579, страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

579. На рисунке 123 показано, как с помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник, у которого стороны равны и углы равны. Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы.

Рис. 123

Постройте в тетради правильный шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника, у которого все стороны и углы равны, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
2. Выберите на окружности любую точку A. Это будет первая вершина шестиугольника.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен быть равен радиусу R), установите его острие в точку A и проведите дугу, пересекающую окружность. Точку пересечения обозначьте как B.
4. Переместите острие циркуля в точку B и тем же раствором (R) проведите дугу, пересекающую окружность в новой точке C.
5. Продолжайте таким же образом, последовательно находя точки D, E и F. Последняя дуга, проведенная из точки F, должна пересечь окружность в исходной точке A.
6. С помощью линейки последовательно соедините отрезками точки A, B, C, D, E, F.

Полученная фигура ABCDEF является правильным шестиугольником. Особенность этого построения заключается в том, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Каждый построенный отрезок (например, AB) вместе с радиусами, проведенными к его концам из центра окружности (OA и OB), образует равносторонний треугольник (OA = OB = AB = R). Центральный угол такого треугольника (например, $\angle AOB$) равен $60^\circ$. Так как полный угол составляет $360^\circ$, то по окружности можно отложить ровно $360^\circ / 60^\circ = 6$ таких отрезков.

Ответ: правильный шестиугольник построен в соответствии с описанным методом.

Измерьте его углы

После построения шестиугольника необходимо измерить его внутренние углы с помощью транспортира. Для этого нужно приложить транспортир к каждой вершине и измерить угол между смежными сторонами (например, $\angle ABC$, $\angle BCD$ и так далее).

Теоретически, величину каждого внутреннего угла правильного n-угольника можно рассчитать по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Для правильного шестиугольника, где $n=6$, каждый угол равен:

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

При измерении углов построенного в тетради шестиугольника транспортиром, значения должны быть равны или очень близки к $120^\circ$. Небольшие погрешности могут возникнуть из-за неточности инструментов или самого построения.

Ответ: каждый угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.