Номер 705, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

705. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 141.

а) б) Рис. 141

Задачи такого типа решаются с помощью простого правила из теории графов. Фигуру можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одной и той же линии, если у нее имеется не более двух «нечетных» узлов (вершин). Узел считается нечетным, если в нем сходится нечетное число линий (1, 3, 5 и т.д.), и четным, если в нем сходится четное число линий (2, 4, 6 и т.д.).

• Если в фигуре нет нечетных узлов, ее можно нарисовать одним росчерком, начав в любой точке и закончив в ней же.
• Если в фигуре ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать одним росчерком, но начинать нужно в одном нечетном узле, а заканчивать — в другом.
• Если в фигуре более двух нечетных узлов, нарисовать ее одним росчерком невозможно.

Применим это правило к данным фигурам.

Рассмотрим фигуру а). Она состоит из двух соединенных квадратов. Посчитаем количество линий, сходящихся в каждом узле:

• В четырех угловых узлах (верхний левый, нижний левый, верхний правый, нижний правый) сходится по 2 линии. Это 4 четных узла.
• В двух центральных узлах (на общей стороне квадратов) сходится по 3 линии. Это 2 нечетных узла.

Так как в фигуре ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать заданным способом. Начинать нужно в одном из центральных узлов, а заканчивать — в другом. Вот один из возможных путей:

1. Начать с верхнего центрального узла и провести линию влево.
2. Из верхнего левого угла провести линию вниз.
3. Из нижнего левого угла провести линию вправо к нижнему центральному узлу.
4. От нижнего центрального узла провести линию вверх к верхнему центральному узлу.
5. От верхнего центрального узла провести линию вправо.
6. Из верхнего правого угла провести линию вниз.
7. Из нижнего правого угла провести линию влево, закончив в нижнем центральном узле.

Анимация одного из возможных способов:

Ответ: Фигуру можно нарисовать.

Рассмотрим фигуру б), которая похожа на домик. Посчитаем количество линий в ее узлах:

• В двух нижних углах и в вершине крыши сходится по 2 линии. Это 3 четных узла.
• В двух узлах, где крыша соединяется с основной частью дома, сходится по 3 линии. Это 2 нечетных узла.

Поскольку в этой фигуре также ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать, не отрывая карандаша. Начинать нужно в одном из узлов, где крыша примыкает к "стенам", а заканчивать — в другом. Пример последовательности:

1. Начать с левого верхнего узла "квадрата" и провести линию вниз.
2. Из левого нижнего угла провести линию вправо.
3. Из правого нижнего угла провести линию вверх до правого верхнего узла "квадрата".
4. Из этой точки провести линию к вершине крыши.
5. От вершины крыши провести линию к левому верхнему узлу "квадрата".
6. Из левого верхнего узла провести линию вправо, завершив рисунок в правом верхнем узле "квадрата".

Анимация одного из возможных способов:

Ответ: Фигуру можно нарисовать.