Номер 675, страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

675. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:

а) не может быть больше одного из этих чисел;

б) делится на все общие делители этих чисел.

а) не может быть больше одного из этих чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, по определению, является их общим делителем. Это означает, что он должен делить каждое из этих чисел без остатка.

Рассмотрим два натуральных числа, $a$ и $b$, и их наибольший общий делитель $d = \text{НОД}(a, b)$.

По определению делителя, если число $d$ делит число $a$, то $d$ не может быть больше $a$ (для натуральных чисел). Математически это записывается как $d \le a$. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12, и ни один из них не больше 12.

Аналогично, так как $d$ также делит число $b$, то должно выполняться условие $d \le b$.

Таким образом, наибольший общий делитель $d$ должен быть меньше или равен каждому из чисел ($d \le a$ и $d \le b$). Следовательно, он не может быть больше ни одного из этих чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель является делителем каждого из двух чисел, а делитель натурального числа не может быть больше самого этого числа.

б) делится на все общие делители этих чисел

Это фундаментальное свойство наибольшего общего делителя. Объясним, почему это так.

Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(a, b)$.

Возьмем любой другой общий делитель этих чисел и назовем его $c$.

Раз $c$ является общим делителем, то и $a$, и $b$ делятся на $c$ без остатка. Это можно записать в виде формул:
$a = c \cdot k$
$b = c \cdot m$
где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь подставим эти выражения в определение $d$:

$d = \text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(c \cdot k, c \cdot m)$

Используем свойство наибольшего общего делителя, которое позволяет выносить общий множитель за знак НОД: $\text{НОД}(cx, cy) = c \cdot \text{НОД}(x, y)$. Применив это свойство, получим:

$d = c \cdot \text{НОД}(k, m)$

Так как $\text{НОД}(k, m)$ является целым числом, из последнего равенства следует, что $d$ является произведением $c$ на целое число. А это, по определению, означает, что $d$ делится на $c$.

Поскольку мы выбрали $c$ как произвольный общий делитель, это утверждение верно для всех общих делителей чисел $a$ и $b$.

Ответ: Любой общий делитель $c$ чисел $a$ и $b$ можно представить как общий множитель этих чисел, который выносится за знак НОД. В результате НОД($a,b$) оказывается равным произведению $c$ на некоторое целое число, что и доказывает делимость.