Номер 672, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Наибольший общий делитель. Глава 3. Делимость натуральных чисел - номер 672, страница 148.

Условие.

672. Придумайте пять пар таких чисел $a$ и $b$, чтобы $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в том, чтобы найти пять пар чисел $a$ и $b$, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Такие числа называются взаимно простыми. Это означает, что у них нет общих простых делителей.

Вот пять примеров таких пар с объяснениями.

Пара 1

Возьмем два последовательных числа, например, 8 и 9. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые. Проверим это, разложив их на простые множители:
$a = 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$b = 9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
У чисел 8 и 9 нет общих простых делителей, следовательно, $НОД(8, 9) = 1$.
Ответ: (8, 9).

Пара 2

Возьмем два различных простых числа, например, 7 и 13. Простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Поскольку 7 и 13 — разные простые числа, их единственный общий делитель — это 1.
$НОД(7, 13) = 1$.
Ответ: (7, 13).

Пара 3

Возьмем простое число и составное число, которое на него не делится. Например, 5 и 12.
Разложим число 12 на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Число 5 является простым.
Сравнивая множители чисел 5 и 12, мы видим, что у них нет общих делителей, кроме 1. Таким образом, $НОД(5, 12) = 1$.
Ответ: (5, 12).

Пара 4

Возьмем два составных числа, у которых нет общих простых делителей. Например, 15 и 28.
Разложим их на простые множители:
$a = 15 = 3 \cdot 5$
$b = 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
Общих простых множителей нет, поэтому $НОД(15, 28) = 1$.
Ответ: (15, 28).

Пара 5

Возьмем число 1 и любое другое натуральное число, например, 34. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Поэтому наибольший общий делитель единицы и любого другого натурального числа всегда равен 1.
$НОД(1, 34) = 1$.
Ответ: (1, 34).