Номер 673, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

673. Найдите:

а) $ \text{НОД} (320, 40) $;

б) $ \text{НОД} (233, 79) $;

в) $ \text{НОД} (278; 279) $;

г) $ \text{НОД} (484, 44) $;

д) $ \text{НОД} (84, 96) $;

е) $ \text{НОД} (100; 175) $.

а)

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 320 и 40, можно заметить, что 320 делится на 40 без остатка:

$320 \div 40 = 8$

Если одно натуральное число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел. Следовательно, НОД(320, 40) = 40.

Ответ: 40

б)

Для нахождения НОД(233, 79) воспользуемся алгоритмом Евклида. Этот метод заключается в последовательном делении большего числа на меньшее с остатком, пока остаток не станет равен нулю.

$233 = 2 \cdot 79 + 75$

$79 = 1 \cdot 75 + 4$

$75 = 18 \cdot 4 + 3$

$4 = 1 \cdot 3 + 1$

$3 = 3 \cdot 1 + 0$

Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем. В данном случае он равен 1. Это означает, что числа 233 и 79 взаимно простые.

Ответ: 1

в)

Числа 278 и 279 являются последовательными натуральными числами. Два любых последовательных натуральных числа всегда взаимно просты, так как их единственный общий положительный делитель — это 1.

Доказательство: пусть $d$ — общий делитель чисел $n$ и $n+1$. Тогда $d$ также делит и их разность: $(n+1) - n = 1$. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1, следовательно, $d=1$.

Таким образом, НОД(278, 279) = 1.

Ответ: 1

г)

Чтобы найти НОД(484, 44), проверим, делится ли большее число на меньшее:

$484 \div 44 = 11$

Так как 484 делится на 44 нацело, то 44 является их наибольшим общим делителем.

Ответ: 44

д)

Для нахождения НОД(84, 96) разложим оба числа на простые множители и найдем произведение их общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью.

Разложение числа 84: $84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 96: $96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 12 = 2^4 \cdot 6 = 2^5 \cdot 3$

Общими множителями являются $2$ и $3$. Наименьшая степень для 2 — это 2, для 3 — это 1.

НОД(84, 96) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

е)

Найдем НОД(100, 175), разложив оба числа на простые множители.

Разложение числа 100: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$

Разложение числа 175: $175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$

Общим простым множителем является 5. Наименьшая степень, в которой 5 входит в оба разложения, — это 2.

НОД(100, 175) = $5^2 = 25$.

Ответ: 25