Номер 670, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

670. Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми.

Для того чтобы доказать это утверждение, давайте сначала воспользуемся определениями простого числа и взаимно простых чисел.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1.

Пусть у нас есть два простых числа, обозначим их $p_1$ и $p_2$. Нам нужно доказать, что НОД($p_1$, $p_2$) = 1.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Простые числа различны, то есть $p_1 \neq p_2$.

По определению простого числа, у числа $p_1$ есть только два делителя: 1 и $p_1$.
Точно так же у простого числа $p_2$ есть только два делителя: 1 и $p_2$.

Найдём общие делители этих двух чисел. Для этого нам нужно найти пересечение множеств их делителей: $\{1, p_1\}$ и $\{1, p_2\}$.

Поскольку мы предположили, что $p_1$ и $p_2$ — это разные числа ($p_1 \neq p_2$), единственным числом, которое входит в оба множества делителей, является 1.

Таким образом, у чисел $p_1$ и $p_2$ есть только один общий делитель — это 1. Следовательно, их наибольший общий делитель (НОД) также равен 1.

НОД($p_1$, $p_2$) = 1.

По определению, числа, чей НОД равен 1, являются взаимно простыми. Это доказывает, что любые два различных простых числа взаимно просты.

2. Простые числа одинаковы, то есть $p_1 = p_2 = p$.

В этом случае мы ищем НОД($p$, $p$). Наибольший общий делитель любого числа с самим собой равен этому числу.

НОД($p$, $p$) = $p$.

Так как $p$ — простое число, оно больше 1 ($p>1$). В этом случае НОД не равен 1, и числа не являются взаимно простыми.

Обычно, когда в задаче говорится "два простых числа", подразумеваются два различных числа.

Ответ: Два простых числа являются взаимно простыми, только если они различны. Доказательство строится на определении простого числа. У любого простого числа $p$ есть только два делителя: 1 и само число $p$. Если мы возьмём два разных простых числа, $p_1$ и $p_2$, то их множества делителей будут $\{1, p_1\}$ и $\{1, p_2\}$. Поскольку $p_1 \neq p_2$, единственным общим делителем будет 1. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1, и, по определению, эти числа являются взаимно простыми.