Номер 609, страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

609. Сформулируйте признаки делимости на 9, на 3.

Признак делимости на 9

Натуральное число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Объяснение:

Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующую степень числа 10. Например, четырехзначное число $d_3d_2d_1d_0$ можно записать как $N = 1000 \cdot d_3 + 100 \cdot d_2 + 10 \cdot d_1 + d_0$.

Так как $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$ и так далее, то любую степень числа 10 можно представить в виде $10^k = (10^k - 1) + 1$. Число $10^k - 1$ состоит из $k$ девяток (например, $10^3 - 1 = 999$), поэтому оно всегда делится на 9.

Рассмотрим наше число $N$:

$N = (999 + 1) \cdot d_3 + (99 + 1) \cdot d_2 + (9 + 1) \cdot d_1 + d_0$

$N = 999 \cdot d_3 + d_3 + 99 \cdot d_2 + d_2 + 9 \cdot d_1 + d_1 + d_0$

$N = (999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1) + (d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$

Первое слагаемое в скобках, $(999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1)$, очевидно делится на 9. Следовательно, делимость всего числа $N$ на 9 зависит от того, делится ли второе слагаемое, $(d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$, на 9. А это и есть сумма цифр исходного числа.

Пример:

Проверим, делится ли число 5814 на 9. Для этого найдем сумму его цифр: $5 + 8 + 1 + 4 = 18$.

Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 5814 делится на 9.

Проверка: $5814 \div 9 = 646$.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 3

Натуральное число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Объяснение:

Этот признак доказывается аналогично признаку делимости на 9. Поскольку любое число вида $10^k - 1$ (состоящее из $k$ девяток) делится на 9, оно также делится и на 3. Используя те же преобразования, что и выше:

$N = (999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1) + (d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$

Первое слагаемое $(999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1)$ делится на 9, а значит, делится и на 3. Следовательно, делимость всего числа $N$ на 3 зависит от того, делится ли на 3 сумма его цифр $(d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$.

Пример:

Проверим, делится ли число 7851 на 3. Найдем сумму его цифр: $7 + 8 + 5 + 1 = 21$.

Так как 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), то и число 7851 делится на 3.

Проверка: $7851 \div 3 = 2617$.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.