Номер 477, страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

477. Периметр треугольника $ABD$ равен 12 см, периметр треугольника $BDC$ — 30 см, а периметр четырёхугольника $ABCD$ — 32 см (рис. 97). Определите длину отрезка $BD$.

Рис. 97

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры.

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$.

Периметр треугольника $BDC$ ($P_{BDC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{BDC} = BC + CD + BD$.

Периметр четырехугольника $ABCD$ ($P_{ABCD}$) равен сумме длин его внешних сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

По условию задачи известны следующие значения:

$P_{ABD} = 12$ см;

$P_{BDC} = 30$ см;

$P_{ABCD} = 32$ см.

Если сложить периметры двух треугольников, $ABD$ и $BDC$, то мы получим сумму длин всех сторон четырехугольника $ABCD$ и удвоенную длину общего отрезка $BD$.

Запишем это в виде уравнения:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + AD + BD) + (BC + CD + BD)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC + CD + AD) + 2 \cdot BD$

Поскольку выражение в скобках является периметром четырехугольника $ABCD$, можно записать:

$P_{ABD} + P_{BDC} = P_{ABCD} + 2 \cdot BD$

Чтобы найти длину отрезка $BD$, выразим ее из полученного уравнения:

$2 \cdot BD = (P_{ABD} + P_{BDC}) - P_{ABCD}$

Подставим известные значения периметров:

$2 \cdot BD = (12 + 30) - 32$

$2 \cdot BD = 42 - 32$

$2 \cdot BD = 10$

$BD = \frac{10}{2}$

$BD = 5$ см

Ответ: 5 см.