Номер 455, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

455. Найдите на рисунке 93 равные четырёхугольники.

Рис. 93

Для того чтобы определить, равны ли два четырёхугольника, необходимо проверить, можно ли их совместить наложением. На клетчатой бумаге это можно сделать, сравнив их соответствующие стороны и углы. Мы можем вычислить длины сторон каждой фигуры, принимая сторону одной клетки за единицу длины, и используя теорему Пифагора для наклонных отрезков. Длина наклонного отрезка, соединяющего точки со смещением $\Delta x$ по горизонтали и $\Delta y$ по вертикали, равна $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Проанализируем последовательно все четырёхугольники:

1. Четырёхугольник 1: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $2$ (вертикальная), $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ (наклонная) и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{3, 2, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$.
2. Четырёхугольник 2: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $2$ (вертикальная), $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ (наклонная) и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{3, 2, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$.
3. Четырёхугольник 3: Это прямоугольник со сторонами $4$ и $2$. Набор длин сторон: $\{4, 2, 4, 2\}$.
4. Четырёхугольник 4: Это параллелограмм. Две стороны имеют длину $4$, а две другие, наклонные, имеют длину $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Набор длин сторон: $\{4, \sqrt{5}, 4, \sqrt{5}\}$.
5. Четырёхугольник 5: Это прямоугольная трапеция. Её стороны имеют длины $2$ (вертикальная), $1$ (вертикальная), $4$ (горизонтальная) и $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{2, 1, 4, \sqrt{17}\}$.
6. Четырёхугольник 6: Это прямоугольник со сторонами $2$ и $3$. Набор длин сторон: $\{2, 3, 2, 3\}$.
7. Четырёхугольник 7: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$, $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. Набор длин сторон: $\{3, \sqrt{8}, \sqrt{17}, \sqrt{10}\}$.
8. Четырёхугольник 8: Это дельтоид. Две смежные стороны имеют длину $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$, а две другие стороны имеют длины $3$ и $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. Набор длин сторон: $\{\sqrt{13}, \sqrt{13}, 3, \sqrt{5}\}$.

Сравнивая наборы длин сторон всех восьми четырёхугольников, мы видим, что только у фигур 1 и 2 они полностью совпадают. Фигура 2 является зеркальным отражением фигуры 1, что означает, что они равны. У всех остальных четырёхугольников наборы длин сторон уникальны, следовательно, среди них нет других равных пар.

Ответ: равными являются четырёхугольники 1 и 2.