Номер 457, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

457. а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры?

б) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны?

а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры?

Данное утверждение верно.

По определению, два четырёхугольника (как и любые другие геометрические фигуры) называются равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что у равных четырёхугольников соответственно равны все стороны и все углы.

Пусть есть два равных четырёхугольника со сторонами $a_1, b_1, c_1, d_1$ и $a_2, b_2, c_2, d_2$.

Из равенства четырёхугольников следует равенство их соответствующих сторон:

$a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$, $c_1 = c_2$, $d_1 = d_2$.

Периметр первого четырёхугольника равен $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1$.

Периметр второго четырёхугольника равен $P_2 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2$.

Так как соответствующие стороны равны, то и сумма их длин будет одинаковой:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = P_2$.

Следовательно, если четырёхугольники равны, то их периметры также равны.

Ответ: да, верно.

б) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны?

Данное утверждение неверно. Равенство периметров двух четырёхугольников не гарантирует равенства самих четырёхугольников. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим, например, квадрат со стороной $a = 5$ см. Его периметр $P_1 = 4a = 4 \times 5 = 20$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом, например, со сторонами $b = 6$ см и $c = 4$ см. Его периметр $P_2 = 2(b+c) = 2(6+4) = 2 \times 10 = 20$ см.

Периметры этих двух четырёхугольников равны ($P_1 = P_2 = 20$ см), однако сами фигуры не равны. Квадрат со стороной 5 см и прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см имеют разную форму и разные длины сторон, и их невозможно совместить наложением.

Следовательно, из равенства периметров не следует равенство четырёхугольников.

Ответ: нет, неверно.