Номер 352, страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

352. На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Количество частей, на которые три прямые могут разделить плоскость, зависит от их взаимного расположения. Рассмотрим все возможные случаи, предполагая, что прямые различны.

Случай 1: Все три прямые параллельны друг другу.
Первая прямая делит плоскость на 2 части. Каждая следующая параллельная прямая добавляет еще одну часть.

• 1 прямая: 2 части.
• 2 параллельные прямые: $2 + 1 = 3$ части.
• 3 параллельные прямые: $3 + 1 = 4$ части.

Ответ: 4 части.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Две параллельные прямые изначально делят плоскость на 3 части. Третья прямая, пересекая их, проходит через все 3 эти части, разделяя каждую из них на две. Таким образом, она добавляет 3 новые части к уже существующим. Общее количество частей: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6 частей.

Случай 3: Все три прямые пересекаются в одной точке.
Две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. Третья прямая, проходящая через их точку пересечения, разрезает две из четырёх образовавшихся областей (пару вертикальных углов). Это добавляет 2 новые части. Общее количество частей: $4 + 2 = 6$.
Ответ: 6 частей.

Случай 4: Прямые попарно пересекаются в трех различных точках (образуют треугольник).
Это случай так называемого общего положения, при котором достигается максимальное количество частей.

• Первая прямая делит плоскость на 2 части.
• Вторая прямая пересекает первую, добавляя 2 новые части. Всего: $2 + 2 = 4$ части.
• Третья прямая пересекает первые две в двух разных точках. Она проходит через 3 из 4 существующих областей, добавляя 3 новые части. Всего: $4 + 3 = 7$ частей.

Это значение можно также получить по общей формуле для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость: $L_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.
При $n=3$: $L_3 = \frac{3^2 + 3 + 2}{2} = \frac{9 + 3 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Ответ: 7 частей.

Таким образом, плоскость можно разделить тремя прямыми на 4, 6 или 7 частей.